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 Problèmes depuis la Macédonie:

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2 participants
AuteurMessage
nmo
Expert sup



Masculin Nombre de messages : 2249
Age : 30
Localisation : Elgara
Date d'inscription : 29/10/2009

Problèmes depuis la Macédonie: Empty
MessageSujet: Problèmes depuis la Macédonie:   Problèmes depuis la Macédonie: EmptyDim 19 Aoû 2012, 11:07

Problème1:
Find all prime numbers of the form Problèmes depuis la Macédonie: Gif, where n is a natural number.
Problème2:
Let the quadruangle Problèmes depuis la Macédonie: Gif be inscribed in a circle of radius 1.
Prove that the difference between its perimeter and the sum of the lengths of its diagonals is positive and less than 4.
Problème3:
Let a, b and c be positive real numbers for which the equality Problèmes depuis la Macédonie: Gif holds.
Prove that the inequality Problèmes depuis la Macédonie: Gif holds.
When dos equality holds?
Problème4:
Find all prime numbers p and q which satisfy the equation Problèmes depuis la Macédonie: Gif.
Problème5:
Problèmes depuis la Macédonie: Gif points in the plane are given such that every three of them are nor colinear. Prove that there exists a triangle such that all the points are in its interior, and on each of its sides lies exactly one point of the given points.
Bonne chance.
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Oty
Expert sup



Masculin Nombre de messages : 745
Localisation : casablanca
Date d'inscription : 02/03/2012

Problèmes depuis la Macédonie: Empty
MessageSujet: Re: Problèmes depuis la Macédonie:   Problèmes depuis la Macédonie: EmptyDim 19 Aoû 2012, 18:29

concernant le probleme 3 , voici
ma solution
posant : a=x-1 , b=y-1 , c=z-1 (avec x,y,z>=1) ,
la condition est equivalente a : xy+yz+zx=xyz .
et l'inégalité est equivalente a :
Problèmes depuis la Macédonie: Gif
ce qui est vrai par AM-GM Smile .
egalité si : x=y=z=3 =>a=b=c=2 .
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Problèmes depuis la Macédonie:
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