Soit B l'adhérence de A. On a toujours A C B
Soit x dans B ==> d(x,B)=d(x,A)=0=|x-y| pour un certain y dans A ==> x=y ==> x dans A
Donc A=B càd A est fermé
Soient x et y dans A avec y> x.
Soit z dans ]x,y[
si z n'est pas dans A, comme A fermé, il existe r >0 :]z-r,z+r[C]x,y[ et disjoint avec A
Soit ]a,b[ le plus grand intervalle contenant z et disjoint avec A
alors a et b sont dans A
d((a+b)/2,A)=(b-a)/2 = |(a+b)/2-a|=|(a+b)/2-b| ce qui est contraire à l'hypothèse
Donc z dans A par suite [x,y]CA càd A est intervalle
Accueil 
