ROLL exercice 8 page 224 du manuel

on pose que f une fonction est dérivée à l'intervalle fermé (0.1) ;tel que ;
(il existe a appartient l'intervalle ouvert (0.1)) f(x)>0 et f(0)=0
montrer que ;
(il exicte c appartient l'intervalle ouvert (0.1)) (2*f'(c)/f(c))=(3*f'(1-c)/f(1-c))

Bonjour,

Indication:

Appliquer le théorème de Rolle à la fonction g définie par g(x)=f^2(x).f^3(1-x) sur l'intervalle [0,1].

merci; mais je ne comprends pas bien

Bonjour ,

Explications:

Soit g la fonction définie sur [0,1] par g(x)=f^2(x).f^3(1-x) .
g est continue sur [0,1] ; g est dérivable sur ]0,1[ (je te laisse le soin de calculer g'(x) ) et g(0)=g(1) (=0). D'après le théorème de Rolle , il existe c dans ]0,1[| tel que g'(c)=0 .
Donc 2.f(c).f'(c).f^3(1-c) - 3.f^2(1-c).f'(1-c).f^2(c)=0 (remplacer x par c dans l'expression de g'(x) ). Donc 2.f'(c).f(1-c) - 3.f'(1-c).f(c) =0 (on a simplifié par le nombre réel non nul f(c).f^2(1-c) ).
En conclusion: il existe c dans ]0,1[ tel que 2.f'(c)/f(c)=3.f'(1-c)/f(1-c) .

je ne comprends pas f(x)=f^2(x).f^3(1-x)
est ce que tu as dis f(x)=2f(x).3f(1-x)
et merci

Bonjour,

@aabid:

J'ai considéré la fonction g ( et non pas f ) définie sur [0,1] par g(x)=f^2(x).f^3(1-x) avec:

f^2(x)=f(x).f(x) et f^3(1-x)=f(1-x).f(1-x).f(1-x)

merci mon ami

pourquoi f(c).f^2(1-c) n'ai pas nul

est ce que f(c).f(1-c) est n'ai pas nul;justifier?
et merci beaucoup

Bonjour ,

On a pour tout x dans ]0,1[ , 0 < f(x): (*)

On a : c est un élément de ]0,1[ , donc 1-c est aussi un élément de ]0,1[ , par suite (en utilisant (*) ) 0<f(c) et 0<f(1-c) , par conséquent 0<f(c).f(1-c) et donc f(c).f(1-c) est non nul.

tu peux aller voir dima dima exo 3 je pense

pourquoi g'(x)=2.f(c).f'(c).f^3(1-c) - 3.f^2(1-c).f'(1-c).f^2(c)=0
il faut que g'(x)=2.f(c).f'(c).f^3(1-c)+3.f^2(1-c).f'(1-c).f^2(c)=0
car (u(x).v(x))'=u'(x).v(x)+v'(x).u(x)

Bonjour

Ton problème réside dans le calcul de la dérivée de la fonction h définie par h(x)=f^3(1-x).

En posant k(x)=1-x , on obtient h(x)=f^3(k(x))=(f^3 o k )(x) ( h est la composée des deux fonctions f^3 et k) .

Donc h'(x)=(f^3 o k)'(x)=k'(x).(f^3)'(k(x))=(-1).3.f^2(k(x)).f'(k(x))= -3.f^2(1-x).f'(1-x) .

merci beaucoup