ROLL exercice 27 page 226 du manuel

on pose f une fonction continuité à l'intervalle fermé (a.b) , et f est dérivée à l'intervalle ouvert (a.b) tel que ; f(a)=f(b)=0
(quelque soit y dans l'ensemble R)(il existe c appartient l'intervalle ouvert (a.b));
montrer que ; f'(c)=yf(c)

Bonjour ,

As-tu étudié en classe le cours sur la fonction exponentielle (bijection réciproque de la fonction logarithme népérien) ?

oui

Rebonjour ,

Puisque tu as étudié la fonction exponentielle , je te donne une indication pour faire ton exercice .

Indication:
Soit y un élément de IR .
Appliquer le théorème de Rolle à la fonction g définie sur [a,b] par g(x)=f(x)/e^(y.x)




Je compte sur toi pour faire l'exercice tout seul.

bonjour.
comment fais-il s'il vous plait;
et merci

Bonjour ,

Soit y dans IR . considérons la fonction g définie sur [a,b] par g(x)=e^(- y.x) .f(x) .
g est continue sur [a,b] (à justifier) , g est dérivable sur ]a,b[ (à justifier) et g(a)=g(b)=0. D'après le théorème de Rolle , il existe c dans ]a,b[ tel que g'(c)=0.
Or pour tout x dans ]a,b[ , g'(x)=-y.e^(-y.x).f(x)+e^(-y.x).f'(x)=e^(-y.x).(-y.f(x)+f'(x)) (à justifier). Donc e^(-y.c).(-y.f(c)+f'(c))=0.Et puisque e^(-y.c) est non nul , alors -y.f(c)+f'(c)=0.Soit f'(c)=y.f(c).
En conclusion: il existe c dans ]a,b[ tel que f'(c)=y.f(c) .

merci beaucoup
comment tu as créer g(x)=(exp(-y.x)).f(x)