Nombre de messages : 2564 Localisation : maroc Date d'inscription : 27/11/2005
Sujet: Probleme décembre 2012 Lun 10 Déc 2012, 09:44
Pour tout entier n> 2 Soit L (n) la somme des entiers de 1 à [n / 2], qui sont premier avec n, et soit U (n) la somme des nombres entiers de [n / 2] + 1 à n qui sont premier avec n. Montrer que si n est divisible par 4, alors U (n) / L (n) = 3.
N.B. [x] désigne la partie entière de x
abdelbaki.attioui Administrateur
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Sujet: Re: Probleme décembre 2012 Mer 23 Jan 2013, 21:26
on pose n=4m ( n>2 ) L(n) =sum( k=1 à 2m-1, pgcd( k,4m) = 1 ) k =sum( k=1 à 2m-1, pgcd( k,2m) = 1 ) k car pgcd( k,4m) = 1<==> pgcd( k,2m) = 1 =sum( k=1 à 2m-1, pgcd( 2m-k,2m) = 1 ) k car pgcd( k,2m) = 1<==> pgcd( 2m-k,2m) = 1 =sum( k=1 à 2m-1, pgcd( 2m-k,2m) = 1 ) (2m-k)
==> 2 L(n)= sum( k=1 à 2m-1, pgcd( k,2m) = 1 ) 2m
U(n) =sum( k=2m+1 à 4m-1, pgcd( k,2m) = 1 ) k =sum( k=1 à 2m-1, pgcd( k+2m,2m) = 1 ) (k +2m)=3L(n) =sum( k=1 à 2m-1, pgcd( k,2m) = 1 ) (k +2m)=3L(n)
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