exercice de exp(x) et suites

on pose (a_n) et (b_n) deux suites tel que ;
(a_n)=((n!)^(1/n)) / n et (b_n)=n^(n) / n!
1) montrer que ; (quelque soit n appartient N*) n*ln(a_n)+ln(b_n)=0
2) montrer que ; (quelque soit n appartient N*) (b_n+1)=(b_n)*(1+1/n)^n
3) montrer que ; (quelque soit n appartient N*) ((1+1/n)^n)>2

Soit n £ IN,
1) ln(a_n)=ln((n!)^(1/n)) -ln(n)= 1/n ln(n!) = 1/n ln(Prod(i=1,n) i) -ln(n) = 1/n (sigma i=1,n) ln(i) -ln(n)
nln(a_n) = (sigma i=1,n)ln(i) -nln(n)
ln(b_n) = ln(n^n) -sigma(i=1,n)ln(i) = nln(n)-sigma(i=1,n)ln(i) .. conclure

2) ((b_(n+1)/b_n)) = [((n+1)^(n+1)/(n+1)!)] / (n^n)/(n!)
nb: n! / (n+1)! = 1/(n+1), une petite transformation sur n^n ==> n^(n+1) /n, l'inclure dans le dénominateur, et le tour et joué.

3) pour n=1, n=2, on vérifie aisemment l'inégalité, soit n >=3,
((1+1/n)^n)= Sigma (k=0,n) C^k_n, = C^0_n + C^1_n + Sigma (k=2,n)C^k_n
Les deux premiers termes sont sup à 2, le reste est strictement positif, conclure ..

ps : désolé l'interface latex ne marche pas, C^k_n, (combinaison de k parmis n)

merci ; je veux poser une question ;
je ne comprends pas cette expression prod(i=1.n)
qu'est ce que c'est prod(i=1.n)

Prod i=1,-> n de a_i <==> a_1 . a_2 . ... . a_n

merci,et je suis désolé;je ne comprends pas

aide moi s'il vous plait

http://www.imagup.com/data/1170937372.html

qu'est ce que je fais dans cette site

les solutions sont dans ce lien

je regarde le site ; mais pourquoi tu pose ; ln(a_n)=((n!)^n) / n)
no , ln(a_n)=((n!)^(1/n)) / n)

ou ca ?

ahh oui desole faute d ecriture mai le resultat est correct

voilaaa ==>

il y a une autre question à l'exercice , est ce que tu aide moi ?
4) conclure ; (quelque sot 6<n) (b_n)<2^n
5) déterminer lim ln((b_n+1)/(b_n)) lorsque x tend vers +l'infini
on pose (quelque soit x appartient l'ensemble R) 0<x-ln(x+1)<x²/2
6) conclure (quelque soit n appartient l'ensemble N*) 0<1+ln(b_n)-ln(b_n+1)<1/2n

pour la question 3
pourquoi tu as écris (n+1)^n>2^n

aide moi s'il vous plait

aide moi s'il vous plait

Car (1+1/n)^n > 2 équivaut à [(n+1)/n]^n > 2 soit encore (n+1)^n / n^n > 2 soit (n+1)^n > 2n^n

Or, 2n^n > 2^n pour n >1

merci beaucoup
et est ce que tu m'aide ;
les questions 4 et 5 et 6

Désolé monsef mais l'inégalité n'est pas equivalente à (n+1)^ n>=2^n, dans ce cas ci pourquoi tte cette demo il suffit que n >=1, revois ta methode.

merci , mais j'ai besoin la résoudre de queston 4 et 5 et 6
s'il vous plait