exercice de suites

(a)n tel que:1<n est une suite croissante de réels strictement positifs.
Montrez que :
(1/a1)+(2/a1+a2)+(3/a1+a2+a3)+..............+(n/a1+a2+a3+.........+an)<4((1/a1)+(1/a2)+(1/a3)+......+(1/an)).

Salut,


C'est une inégalité de Hardy, introuvable si on n'a pas l'idée suivante (qui n'est pas la mienne, j'ai déjà vu l'exo) :

Montrer par recurrence que :

\sum_1^n (k /\sum_1^k a_i) < 4 \sum_1^n 1/a_i - n²/2 (1/\sum_1^n a_i)

salut,
j'ai pas compris l'innégalité que vous m'a proposée, vous pouvez la réecrire d'une autre manière????
Ou je peux trouver la théorème de Hardy??
MERCI de votre aide.

Voilà ce que tµtµ a écrit :

Et sinon, pour l'inégalité de Hardy :

Salut,
D'abord merci pour votre aide mais j'ai pas compris deux choses:
1) pourquoi la dernière exepression a ajouté dans l'innégalité???
2) je suis au terminale SM donc je sais pas comment je peux appliquer la théorème de HARDY avec la puissance....
Mais de m'avoir aider car je dois trouver la solution d'exercice avant jeudi prochain.
MERCI BEAUCOUP.

pour ta premiere question : c est une methode classique liée a la recurrence,on essaye de démontrer une inégalité plus forte .voila un exemple concret pour mieux comprendre,si on vous demande de montrer que pour tout entier n: 1+1/2²+1/3²+...+1/n²< 2 .
alors on ne peut pas appliquer la recurrence directemen pour demontrer ce resultat ,mai on peut passer par une inégalité plus forte: 1+1/2²+1/3²+...+1/n²<2-1/n..
cette derniere inégalité é démontrable par recurrence et implique directement la premiere ...voila !
pour la deuxieme question:tu pren p=-1 et ça donne directemen l inégalité demandée..si t é en terminale , je pens ps que c pas permis d utilizé ce genre de théorème , tu doi passer par "la recurrence"!

Salut bel_jad5,
merci pour votre aide mais il y'a qlq chose qui cloche c'est que tu m'a dit de prendre p=-1 et nous avons la théorème de HARDY pour chaque 1<P et 1<n.
bon pour la récurrence est ce que l'innégalité proposée est détérminable??? Vous avez fait un essais??
MERCI.

commençons par etablir un petit lemme :
(n+1)(n+3)<=(x+y)(n²/x+8/y) pour x et y positifs
on a : (x+y)(n²/x+8/y)=n²+8+(n²y/x+8x/y)
>=n²+8+2racine(n²y/x*8x/y)
>=n²+8+4racine(2)n
>=n²+3+4n
>=(n+1)(n+3)
d ou la demonstration du lemme...
aprè ,on a a partir du lemme
(n+1)/(x+y)-n²/2x <=4/y-(n+1)²/2(x+y)
on prend pour x=a1+a2+..+an et y=a(n+1)
ce qui donne:
(n+1)/(a1+a2+..+an +a(n+1))-n²/2(a1+a2+..+an) <=4/a(n+1)-(n+1)²/2(a1+a2+..+an +a(n+1))
tu peux utilizé ce resultat pour achever la demo par recurrence
NB:g fé la solution sur le net directemen,je sui ps sur des calculs que g fé et en plus de ça , je voi ps prq la suite (ai) est croissante g l ai ps utilizé ds la demo..!