ptit exercice de suites

bjr j vous donne ce ptit exo de suites
f[n](x)=x^n+x-1
1) etudier la monotonie de la fonction f[n](x) pour tout x appartenant à [0,1].
2) prouver que quel soit n de IN equation f[n](x)=0 admis une seul solution a[n] de IR+ et que 0<a[n]<1
3) prouver que a[n] est croissante
4) remarquez que a[n] est covergente et situer sa limite
je vous attends

Les 3 premières questions sont très faciles.

Pour la 4eme, la convergence est claire, soit alors L la limite cherchée, L £ [0,1].
Si on suppose L < 1 : La suite étant croissante a[n]<=L, donc 0 <= a[n]^n <= L^n, ce qui prouve la convergence de la suite a[n]^n vers 0, or on a a[n]^n = 1 - a[n] donc a[n]^n converge également vers 1 - L, par unicité de la limite 1 = L, absurde avec L < 1.
Cela prouve que la limite est 1.

1) on a derivee de f[n](x) positif donc f[n] est croissante sur [0,1].
2) f[n] est croissante sur [0,1] est continue donc f[n] bijection de [0,1] a f([0,1])=[-1,1]
et puisque 0£[-1,1] f[n](x)=0 admis une seul solution a[n] de 0<a[n]<1

3)f[n](a[n+1])- f[n](a[n])=f[n](a[n+1])=a[n+1]^n+a[n+1]-1
=a[n+1]^n-a[n+1]^(n+1)=a[n+1]^n(1-a[n+1]) ce qui est positif prceque a[n+1] inf 1
donc f[n](a[n+1])- f[n](a[n]) psitip donc 3)f[n](a[n+1]) sup f[n](a[n])
donc (a[n+1]) sup (a[n]) parceque fn est croissante
donc an est croissante
4)a[n]<1 et croissante donc convergente

la limite: on a 0<a[n]<1
donc 0=< lim a[n]<=1
si on suppose que la lim est inf a 1 on va trouver une faute(prouve a l aide de la fonction)
donc lim =1
donc