Endomorphismes de l'anneau (C,+,.) :

Soit f un endomorphisme de l'anneau C mené des deux lois usuels (addition et multiplication).
Montrez que f est, soit l'identité, soit la conjugaison complexe.
Bonne chance.

On sait que l ensemble des endomorphisme de R sont l identite ppur avoir C etudions une partie dense Un par exemple si z appartient a Un (f(z))^n=1 dans f(z)=exp(2ikpi/n) voyons mnt f(z+z(barre))=f(2cos(o))=2cos(o)=2(cos(ko)) k=1,-1 et donc l identite ou la conjugaison et reverifie sur n importe quelle complexe et ca marche sauf erreur bien sur

galillee56 a écrit:

On sait que l ensemble des endomorphisme de R sont l identite ppur avoir C etudions une partie dense Un par exemple si z appartient a Un (f(z))^n=1 dans f(z)=exp(2ikpi/n) voyons mnt f(z+z(barre))=f(2cos(o))=2cos(o)=2(cos(ko)) k=1,-1 et donc l identite ou la conjugaison et reverifie sur n importe quelle complexe et ca marche sauf erreur bien sur

Je pense que l'ensemble des racines n-ième de l'unité n'est pas dense...
De plus, si on sait l'ensemble des endomorphismes de R est constitué par l'identité seulement on peut passer à la conclusion autrement et plus directement...
Mais, je ne comprends pas pourquoi la restriction des endomorphismes de C sur R sont les endomorphismes de R?
Normalement, la restriction de f sur R est définie de R vers C; et il faut ainsi démontrer que f(R)=R pour conclure!
Merci pour la réponse.

nmo a écrit:

galillee56 a écrit:

On sait que l ensemble des endomorphisme de R sont l identite ppur avoir C etudions une partie dense Un par exemple si z appartient a Un (f(z))^n=1 dans f(z)=exp(2ikpi/n) voyons mnt f(z+z(barre))=f(2cos(o))=2cos(o)=2(cos(ko)) k=1,-1 et donc l identite ou la conjugaison et reverifie sur n importe quelle complexe et ca marche sauf erreur bien sur

Je pense que l'ensemble des racines n-ième de l'unité n'est pas dense...
De plus, si on sait l'ensemble des endomorphismes de R est constitué par l'identité seulement on peut passer à la conclusion autrement et plus directement...
Mais, je ne comprends pas pourquoi la restriction des endomorphismes de C sur R sont les endomorphismes de R?
Normalement, la restriction de f sur R est définie de R vers C; et il faut ainsi démontrer que f(R)=R pour conclure!
Merci pour la réponse.

merci pour la remarque mr nmo mais je sais il se peut que je me trompe ce que je fais c que je restreint f a R et je le corestreint a R et j'appele cette nouvelle fonction g donc il faut trouver l ensemble des endomorphisme de corps R il n'y a que l id donc g est bijective f(R)=R (ceci est facile a prouver par densite de Q dans R)
ps: je parlais de densite de Un dans U. j'espere que ma preuve est bonne cette fois

nmo a écrit:

Soit f un endomorphisme de l'anneau C mené des deux lois usuels (addition et multiplication).
Montrez que f est, soit l'identité, soit la conjugaison complexe.
Bonne chance.

Bonsoir au Forum !!
Je m'en vais apporter mon humble Contribution à cet Exo ....
Il manque apparemment quelque chose ... Mais voyons Pourquoi ??!!

Soit f un homomorphisme de l'anneau C dans lui même /
On a immédiatement :
f(0)=0 ; f(1)=1 et pour tout x dans C , f(x)=-f(-x) .

Considérons la restriction de f à Q .
1) On démontre par récurrence sur p que f(p)=p pour tout p dans IN
2) Comme f(-p)=-f(p) alors pour tout p dans Z on aura f(p)=p
3) Enfin si q est dans IN* et p dans Z
On écrit f(p)=f(q.(p/q))=q.f(p/q) d' ou f(p/q)=f(p)/f(q)=p/q
Par conséquent pour tout r dans Q on aura f(r)=r

On peut améliorer et passer à l' anneau Q[i]
En effet si x est dans Q[i} alors x=a+i.b avec a, b dans Q et alors
f(x)=f(a)+f(i).f(b)=a + f(i).b

Or {f(i)}^2=f(i^2)=f(-1)=-1 d'ou f(i)=i OU f(i)=-i
Si bien que f(x)=a+i.b ou f(x)=a-i.b

En conclusion : la restriction de f au sous-anneau Q[i] de C est un homomorphisme d'anneau de Q[i] sur lui-même qui est soit l'Identité , soit l'opération de CONJUGAISON .

Maintenant , il faudrait passer à C=IR[i]
Et c'est là qu'on se rend compte QU'IL FAUT QUELQUE CHOSE d'autre en PLUS ....

Par exemple : si on sait que f applique IR+* dans IR+*

Alors , on pourra facilement en déduire que f est croissante sur IR , puis par densité de Q dans IR , Conclure comme le stipule l'Exercice .

Amicalement . LHASSANE

euh dsl j'ai considere que f etait un morphisme de corps continue mes excuse a tous je suis vraiment desole c'est pour ca que je voyais pas ou etait l'erreur une hypothese (forte) de continuite suffirai