Marathon d'arithmetique

si a^i=1 il existe donc si a^i=1 i  divise    
si p est dans [1,n] sa valuation p a-dique est plus petite que n(n-1)/2 donc si a^i=d i=i'd i'\a^(n-j)-1 d divise a^(n(n-1)/2)

2^{a}+3^{b}=5^{c}

- si a=0 alors
1+3^{b}=5^{c}
on a  3^{b}=0(mod 4)
d'ou la contradiction

- si b=0 alors
2^{a}+1=5^{c}
si c>=2 clairement on a  a>=3
ainsi 5^{c}=1(mod 8.)ainsi c est pair
d'autre part  on a 5^{c}=1(mod 3)
ainsi 2^{a}=0(mod 3)
ainsi c=<1  
si c=1  alors on a   a=2
si c=0  alors pas de solutions

- si c=0  clairement pas de solutions

- si (a,b,c)£ IN*

on  a  2^{a}+3^{b} =5^{c}

si a=2  alors
4+3^{b} =5^{c}
on a  5^{c}=1(mod 3) ainsi c est pair
de meme  3^{b}=1(mod 4) ainsi b est pair
comme b est pair on a  3^{b} =1(mod 8.)
ainsi  5^{c}=5(mod 8.)contradiction avec la parité de c

si a>=3
on a  3^{b}=1(mod 4) ainsi  b est pair
ainsi comme b est pair et a>=3 on a  5^{c}=1(mod 8.)
ainsi c est pair
notons  c=2u et b=2v  avec (u,v)£ IN*
on  a   (5^{u}-3^{v} )(5^{u}+3^{v}} = 2^{a}
selon la parité de v  et en passant par le modulo 4
l'un d'eux doit étre égal à  2
dans les deux cas on aura 2.5^{u}=2+2^{a-1}
ainsi 5^{u} =1+2^{a-2}
qui n'est que l'équation du cas ou b=0 ainsi a=4 et b=2,c=2

il nous reste qu'a traiter le cas ou a=1
ou on aura
2+3^{b}=5^{c}
1+3^{b} =5^{c}-1
ainsi v_2 (b) +2 =  v_2(c)+2
ainsi v_2(b)=v_2(c) =x
supposons que x>0
alors  b=2^{x}.d  avec  pgcd(d,2)=1
récrivons l'équation initiale sous forme de
5^{c}-5 = 3^{b}-3
ainsi 5(5^{c-1}-1) =3(3^{b-1}-1)
ainsi  5| 3^{2^{x}.d -1} -1
on connait que si 5|3^{n}-1  alors  4|n
ainsi  4|2^{x}.d -1 absurde ainsi  
b=1 et en reprochant à l'équation initiale on a c=1

finalement l'ensemble des solutions est  

S={(1.1.1) , (2.0.1) ,(4,2,2) }

dabord on a: b>0 et a>0 (parcequ ils sont des puissances de x)
soit k et n 2 entiers naturels tel que a=x^k et b=x^n
x^(a+b)=x^(kb).x^n =x^(kb+n)  donc a+b=kb+n
b(k-1)=a-n
     pour k=0 :-b=a-n <==> b=n-a <==> b=n-x^n <0 ce qui est contradictoire (b>0)
     pour k>=1
            pour k=#=1
a+b=kb+n <==>a-n=k(b-1) >=0
b>=a donc n>=k
(k-1) x^n=x^k -n
k-1=(x^k -n)/x^n
k<=n donc (x^k -n)/x^n nest pas un entier, contradiction  
                         donc k=1
             pour k=1,  k-1=0  donc a-x=0 donc a=x
donc a=x=n, et donc a=x
en remplacant  on trouve  (k-1) x^n =n-x=0 donc x=n=a donc a=x et b=x^x

Supposons que n soit composé et que d soit un diviseur strict de n
On peut donc écrire n=dd' et
(2^n-1)=(2^d-1)(2^d(d'-1)+2^d(d'-2)+....+1)
alors le facteur 2^d-1 est non trivial et donc 2^n-1 est composé d'où
dsl pr cette écriture ,mon latex n'est pas available