Préparation aux Olympiades 2013/2014

En attente de confirmation pour passer au 8

L-W-P a écrit:

EXO 7
déterminer toutes les fonctions de N----N
telles que pour tous x,y de N on a
f(f(n)+f(m))=m+n

P(m,n)=>f(f(m)+f(n))=m+n il est claire que f est bijective
P(0,0)=>f(2f(0))=0 donc P(2f(0),2f(0))=>f(0)=4f(0)=>f(0)=0
P(m,0)=>f(f(m))=m
P(f(a),f(b))=>f(a+b)=f(a)+f(b)  pour tt a,b de N
par une récurrence simple on trouve f(a)=af(1) pour tt a de N
f(f(a))=a=>f(af(1))=a=>af²(1)=a=> f(a)=a pour tt a de N

legend-crush a écrit:

Remarquer que si f(m)=f(n) alors m+n=f(f(m)+f(n))=f(f(n)+f(n))=2n --> m=n
ce qui assure que f est bel est bien injective.
on remarque d'ailleurs que 2n=n+1+n-1=f(f(n+1)+f(n-1)) et 2n=n+n=f(f(n)+f(n))
donc f(f(n+1)+f(n-1))=f(f(n)+f(n)) et donc vu que f est injective f(n+1)+f(n-1)=f(n)+f(n)
d'ou f(n+1)-f(n)=f(n)-f(n-1) (donc f a une pente constante ) d'ou f affine
donc f(n)=an+b et on peut facilement déduire que la seule solution est f(n)=n

on peut aussi démontrer que f(n)=n par réccurence forte puisque f(n+1)=2f(n)-f(n-1)=2n-n+1=n+1

bravo c une bonne méthode   

Merci, j'ai utilisé un théorème que j'ai trouvé dans un livre des equations fonctionnelles
( f(n+1)-f(n)=f(n)-f(n-1) ==> f affine)

Voila une equation fonctionnelle facile (c'est tout ce que j'ai trouvé pour l'instant ^^)
Exercice 8:
trouver toutes les fonctions de R vers R tel que pour tous (x;y) de R²:
f(x+y)=f(x).f(y).f(xy)

Voici ma proposition, j'suis pas sûr...

-La fonction nulle est solution évidente.
-Substituer en x = y/y-1 pour obtenir x + y = xy avec la contrainte x et y différents de 1
-Obtenir ainsi f(x).f(y) = 1 pour tout x et y différents de 1.
-En déduire que f(x) = 1 pour tout x dans R\{1}
-Cacluler f(1) séparément pour généraliser le tout dans R....

Arf, en relisant ma solution, elle me semble douteuse ^^ m'bon!!

je ne pense pas que ce soit complet, f(x)=-1 sont aussi solution ^^

Ah!! J'y ai pas fais attention!!

Mais en tout cas, c' f(x) = +-1!!

Sketshup a écrit:

-Obtenir ainsi f(x).f(y) = 1 pour tout x et y différents de 1.
-En déduire que f(x) = 1 pour tout x dans R\{1}

tu peux m'expliquer comment on peut déduire que f(x)=1 stp ?

Oui!!

f(x)f(y) = 1 ==> Substituer x = y, f(x)² = 1 ==> f(x) = +-1!!

Alors?

mais tu n'as pas f(x).f(y)=1 pour tous x,y de R-{1} mais plutot pour x=y/y-1
En d'autre terme tu as plutôt: f(y).f(y/y-1)=1 pour tout y de R-{1}

Euh, non, attendons un peu...

-Pour tout x dans R, il existe un y différent de 1, de façon à ce que x + y = xy.

-L'on peut donc généraliser, parce que c'une solution valable dans tout R, et non pas des cas particuliers.

Un peu comme x² = -y ou je ne sais plus comment dans une équation fonctionnelle que t'as posé y'a 2 ou 3 jours...

Et je peux toujours me tromper!!

Mais bon, si tu as une solution différente, elle est la bienvenue

Bravo (y), à toi de poster un exo (une équation fonctionnelle si possible)

Euh....Je n'ai pas d'équations fonctionnelles maintenant...

De la combinatoire peut-être? (On a pas encore fait le cours mais bon...)

1)Combien y'a-t-il de façons de vider un tonneau de 100L dans des bouteilles de 1L et 2L?

2)Donner la formule de généralisation: Combien y'a-t-il de façons de ranger p objets parmi k et k' récipients (ou ensembles à k et k' éléments)?