jolie inegalite

Soient a.b.c et d trois reels positifs tel que
(1/1+a^2)+(1/1+b^2)+(1/1+c^2)+(1/1+d^2)=1
M.Q: abcd>ou=3
Merci d'avance pour les reponses !

Ya une erreur dans la question ^^
c'est ou bien

J'ajoute une autre
Soit a,b,c >0 tels que abc=1
M.Q: (a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)<ou= 1
SVP n'hesitez pas
Et Merci d'avance !!!

bianco verde a écrit:

J'ajoute une autre
Soit a,b,c >0 tels que abc=1
M.Q: (a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)<ou= 1
SVP n'hesitez pas
Et Merci d'avance !!!

prend a=x/y , b=y/z et c=z/x (abc=1)
alors 1≥(a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a) => xyz≥(x+y-z)(x+z-y)(y+z-x)
<=> x^3+y^3+z^3+3xyz≥ x²y+x²z+xy²+y²z+xz²+yz² ce qui vrai par Schur (le cas t=1)

Voyez comme je suis nouveau ; pouvez vous m'expliquer l'inegalité de Schür .?
Et Merci d'Avance...

bianco verde a écrit:

Voyez comme je suis nouveau ; pouvez vous m'expliquer l'inegalité de Schür .?
Et Merci d'Avance...

aah bon
l'inégalité de Schur :
avec égalité si et seulement si a, b, c sont égaux ou si deux d'entre eux sont égaux et le troisième est nul.

dans le cas t=1 on obtient :

Ça y est je viens de comprendre l'inegalite de Schür / Tout est clair maintenant ; je vous remercie

bianco verde a écrit:

Ça y est je viens de comprendre l'inegalite de Schür / Tout est clair maintenant ; je vous remercie

de rien   

J'ajoute une autre
Soit x,y et z > 0
Tels que xyz>=xy+xz+yz
Prouver que xyz>=3(x+y+z)
Amicalement ^^

Par Schur on a
x^3+y^3+z^3-3xyz>=x(z^2+y^2)+z(x^2+y^2)+y(x^2+z^2)
Donc x^3+y^3+z^3-3xyz>=x(z-y)^2+z(x-y)

Je continue dsl
x^3+y^3+z^3>=x(z-y)^2+z(x-y)^2+y(x-z)^2>=0
D'ou le resultat voulu .
Merci les gars la methode Schur est terriblement efficace

Faute de frappe dans le prmier msg
! Dsl !

bianco verde a écrit:

J'ajoute une autre
Soit a,b,c >0 tels que abc=1
M.Q: (a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)<ou= 1
SVP n'hesitez pas
Et Merci d'avance !!!

C'est une olympiade internationale de l'an 2000, et voici ma méthode

bianco verde a écrit:

J'ajoute une autre
Soit x,y et z > 0
Tels que xyz>=xy+xz+yz
Prouver que xyz>=3(x+y+z)
Amicalement ^^

1) l'inégalité AM-GM (moyenne arithmétique et moyenne géométrique)


supposons a=1/x ,b=1/y et c=1/z alors 1≥a+b+c  donc il faut démontrer : 1/3≥ab+ac+bc
aprés AM-GM 2ab≥a²+b² , 2ac≥a²+c² et 2bc≥b²+c² donc 1≥(a+b+c)²≥3(ab+ac+bc) d'où 1/3≥ab+ac+bc