nombres premiers et somme de 2 carrés

Soit p un nombre premier supérieur à 3.
Montrer que:
Si p=1(mod 4) alors p est la somme de deux carrés.

p=4k+1=(2k+1)²-(2k)², k€IN*

L' énoncé du Théorème des deux carrés de Fermat est comme suit: Tout nombre premier impair est somme de deux carrés d'entiers si et seulement s'il est congru à 1 modulo 4.

La première implication (p=1(mod 4) alors p est la somme de deux carrés) est facile à démontrer, mais l'autre implication est difficile, et toutes les démonstrations que j'ai trouvées sur Internet étaient d'un niveau technique élevé: certaines d'entre-elles représentaient des exercices dont la solution s'étalait sur presque deux pages.

Exemple d'exercice:

Soit p un nombre premier impair.

1. Montrer que si p est une somme de deux carrés d'entiers, on a nécessairement p congru à 1[4].

On suppose à présent que p est congru à 1 modulo 4.

2. Dénombrer les carrés dans (Z/pZ)* .

3. En déduire qu'il existe n appartenant à Z tel que n^2 est congru à -1[p] .

4. Démontrer qu'il existe (a,b) appartenant à Z^2 tels que 0 <racine_carrée(b)< racine_carrée(p) et   |bn/p - a| (< ou =) 1/racine_carrée(p) .

5. Montrer que p = (bn - ap)^2 + b .

ZYGOTO a écrit:

 p=4k+1=(2k+1)²-(2k)², k€IN*

Somme pas différence .

5. Montrer que p = (bn-ap)²+b²
à Rectifier

Simple faute de frappe.

en fait on peut faire mieux on peut trouver les entier qui s ecrivent sous la forme a n fixe x^2+ny^2 x,y parcourant n chose qui est assez marrante

Merci pour votre remarque fort instructive: grâce à vous j'ai pu m'orienter vers la généralisation de ce théorème, généralisation initié par Joseph-Louis Lagrange grâce auquel l'équation du théorème des deux carrés se généralise sous la forme que vous avez donnée, avec n entier naturel et p un nombre premier. Vous m'avez aussi orienté vers d'autres équations diophantiennes comme :


Merci beaucoup.

ben c'est avec plaisir
en fait comme tu l'as écrit ci haut lagrange a eu l'ingenieuse idee de fusionner des formes quadratique et le theoreme de reciprocite de gauss pour resoudre le probleme.