4eme olympiade pour 1ères

salut tout le monde
comment avez-vous trouvé le test?
perso, j'ai trouvé facile, sauf le dernier qui m a donné du fil a retordre, il est facile mais c est asser dur de repondre a la 1ere question sans pour autant montrer que ABCD est un rectangle...

Salut Elidrissi, En effet moi aussi j'ai trouvé ce test pas difficile du tout mais cela ne m'empêche pas d'être sceptique concernant mes résultats.
Bon, pour le 1 c'est le truc de proportionnalité pour trouver la valeur de a et pour tout de suite après trouver la valuer de x1006
Pour le 2, chacun, je pense, a sa méthode, j'ai trouvé 2023066 ou quelquechose comme ça, j'espère que c'est juste . Pour la deuxième question c'est 1006
Pour le 3, Smax=12 , c'est le cas du rectangle de longueur 4 et de largeur 3 .

mêmes réponses legend-crush, encore une fois.
je crois que cet examen ne mérite pas 3h30

pour le 1 je crois que a=1/5 et encore x1006=2011/4

Merci de poster l"epreuve ! (mm scenario que la semaine derniere ^_^)

L-W-P a écrit:

mêmes réponses legend-crush, encore une fois.
je crois que cet examen ne mérite pas 3h30

Hhhhh, Oui vous avez raison, cet examen avec ses 3 exos ne mérite que 2h15 au plus

L-W-P a écrit:

pour le 1 je crois que a=1/5 et encore x1006=2011/4

Oui c'est ce que j'ai trouvé aussi
Bianco Verde, attend un instant je vais t'écrire l'examen en Latex vu que j'ai perdu ma copie ...

Le 2:
On considère l'equation (E): x+y+z=2013 dans N*^3 :
1) Trouver le nombres de triplets (x;y;z) solutions de l'equation (E).
2) Quel est le nombre de triplets parmi E tel que x=y

elidrissi a écrit:

salut tout le monde
comment avez-vous trouvé le test?
perso, j'ai trouvé  facile, sauf le dernier qui m a donné du fil a retordre, il est facile mais c est asser dur de repondre a la 1ere question sans pour autant montrer que ABCD est un rectangle...

Comment a-tu- pu trouver l'aire maximal sans pour autant faire allusion à la nature de ABCD?

Salut!!!

Je poste mes solutions:

Pour les 2 premiers, essayer de traiter les problèmes par leurs généralités. Pour le 1, trouver Xn en fonction de n et de a, pour déduire a, et ensuite remplacer dans la relation pour déduire xn en fonction de n seule. Calculer tranquillement X1006. Pour le 2, j'ai raisonné par récurrence sur la relation entre m la somme et n le nombre de solutions, en posant m = 2013, j'ai trouvé le même gros-nombre-qui-fait-peur-au-début-mais-qui-est-correct que Legend-Crush. La deuxième question n'est pas aussi compliquée, elle équivaut à trouver le nombre de nombres pairs entre 2 et m-y, qui est la partie entière de m-1/2, on remplace m par 2013, et on est tranquilles!!

Pour le 3, j'ai raisonné comme suivant:
-Ecrire le produit des diagonales en fonction de la surfaces, et des 4 projetés orthogonales.
-Utiliser l'inégalité de Ptolémée et modifier le RHS grâce à (a+b)² >= 4ab.
-Déduire que maximiser la surface équivaut à minimiser la somme des diagonales. En déduire la condition de colinéarité des vecteurs formées par les projetés et les points deux par deux.

En rassemblant les diverses conditions. On déduit la valeur de la surface, et en même temps que ABCD est rectangle (implicitement circonscrit)

Pour répondre à Legend-Crush: En fait, je n'ai pas différé les questions. L'idée, bach nkhrjo mn bab wass3, serait de déduire les 2 choses en même temps. Ce sont des olympiades, et pas un exercice lambda, l'objectif, c'est d'y arriver.

Je commence à avoir peur quant à ma preuve du troisième, voici ma preuve; vous pouvez en juger vous même:
S=1/4AB.BC Sin(B)+1/4 AD.DC.sin(D)+1/4 AB.AD. sin(A)+1/4 BC.CD sin(C)
=< 1/4AB.BC+1/4 AD.DC+1/4 AB.AD+1/4 BC.CD=1/4 (AB+CD)(BC+AD) =12
2) Cas d'egalité est Sin(A)=Sin(B)=Sin(C)=Sin(D) <=> ABCD rectangle ...

pour le 1er : Xn=(2n-1).X1
X1=1/4 et X1006=2011/4
2em: on considere l equation : a+b=c avec a b et c dans N* , il y a c-1 solutions; donc
x+y=2013-z a somme de n-1 de 1 a 2012 ou quelque chose comme ca
l autre question, il y a 1006 solution
3em: Smax=(AB.BC+AD.DC)/2 atteint quand <B et <D sont droits mais ABCD n est pas un rectangle pour autant. on calcule DC en fonction de BC a patir de
AB^2+BC^2=CD^2+DA^2
on remplace dans (AB.BC+AD.DC)/2 pour obtenir une equation de deuxieme degré en BC, qui atteint son maximum a BC=4 et S=12
pour la 2eme question on obtient AD=4 et AB=CD=3, ABCD est donc un parallelograme avec un angle droit, cest donc un rectangle

Haha, les olympiades commencent à devenir amusants: Chacun fait sa propre méthode!!

legend-crush a écrit:

Je commence à avoir peur quant à ma preuve du troisième, voici ma preuve; vous pouvez en juger vous même:
S=1/4AB.BC Sin(B)+1/4 AD.DC.sin(D)+1/4 AB.AD. sin(A)+1/4 BC.CD sin(C)
 =< 1/4AB.BC+1/4 AD.DC+1/4 AB.AD+1/4 BC.CD=1/4 (AB+CD)(BC+AD) =12
2) Cas d'egalité est Sin(A)=Sin(B)=Sin(C)=Sin(D) <=> ABCD rectangle ...

oui c est correct je crois:S=1/2AB.BC Sin(B)+1/2 AD.DC.sin(D)=1/4 AB.AD. sin(A)+1/4 BC.CD sin(C)   donc   S=1/4AB.BC Sin(B)+1/4 AD.DC.sin(D)+1/2 AB.AD. sin(A)+1/2 BC.CD sin(C) est le reste en decoule, mais on ne doit pas faire allusion au rectangle ABCD justement, ca cest dans la 2eme question...c est pour ca que ca m a pris du temps.
enfin sauf erreur, on ne sait jamais

Bon, la prochaine étape, c'est l'entraînement 1, n'est-ce pas?

oui je crois bien. vous croyez qu il ya combien nationalement qui ont un score parfait?
sinon nos ainés pourraient-ils nous dire comment ca se passe, pour ceux qu ont deja participé? merci d avance ^^

elidrissi a écrit:

oui je crois bien. vous croyez qu il ya combien nationalement qui ont un score parfait?
sinon nos ainés pourraient-ils nous dire comment ca se passe, pour ceux qu ont deja participé? merci d avance ^^

Je connais a part ceux du forum 4 personnes ayant tout fait dans cette epreuve. Une seule d'entre elle a fait 4 exos dans le premier. une autre a fait 3 et deux autres 2 exos.
Generalment bq sont ceux qui ont score parfait. Mais bon va falloir que tu t'informe dans ta région.
!!!! Quelqu'un aurairt-il la modakira des olympiades ??

dans ma ville je suis le seul a avoir resolu tout les exercices, dans le premier et le 2 eme. mais pour la region je ne sais pas. 8 sur 35 des qualifiés seulement se trouvent a tanger donc faut voir
je crois qu il restera 40 personne pour lentrainement 1. en espeant etre parmis eux ^^

Vous avez assuré, bravo.

elidrissi a écrit:

je crois qu il restera 40 personne pour lentrainement 1. en espeant etre parmis eux ^^

Oui je viens de m'en rendre compte, cette année, le nombre de participant est restreint à 40 elèves sur l'echelle nationale dès l'étape ou entrainement suivant. J'espère vraiment en faire partie

legend-crush a écrit:

elidrissi a écrit:

je crois qu il restera 40 personne pour lentrainement 1. en espeant etre parmis eux ^^

Oui je viens de m'en rendre compte, cette année, le nombre de participant est restreint à 40 elèves sur l'echelle nationale dès l'étape ou entrainement suivant. J'espère vraiment en faire partie

parceque c est 4 tests avec 2 elimnations (du coup plus de feuilles a corriger)
tu devrais en faire partie, t as tout juste ^^ moi par contre j ai des petites fautes de ci par la...genre ecrire losange au lieu de parallelograme....... :'(

seledeur a écrit:

Vous avez assuré, bravo.

merci bien, Monsieur ^^

s'il vous plait quelqu'un peut mettre l’énoncé ? merci

legend-crush a écrit:

Le 2:
On considère l'equation (E): x+y+z=2013 dans N*^3 :
1) Trouver le nombres de triplets (x;y;z) solutions de l'equation (E).
2) Quel est le nombre de triplets parmi E tel que x=y

le 3:
ABCD est un quadrillatere convexe tel que : AB+CD=6 et AD+BC=8
calculer la surface maximale de ABCD. quand ABCD l atteint il?

elidrissi a écrit:

legend-crush a écrit:

Le 2:
On considère l'equation (E): x+y+z=2013 dans N*^3 :
1) Trouver le nombres de triplets (x;y;z) solutions de l'equation (E).
2) Quel est le nombre de triplets parmi E tel que x=y

le 3:
ABCD est un quadrillatere convexe tel que : AB+CD=6 et AD+BC=8
calculer la surface maximale de ABCD. quand ABC l atteint il?

solution pour la 1er question :

Pour Nas8 et Bianco Verde, Voici en gros l'épreuve qu'on a passé

ma méthode pr le 2.2
on a x=y donc 2x=2013-z alors 2013-z est paire
2013-z=2k => z=2(1006-k)+1=2K+1
alors z est impaire
et puisque 0<z<2013 donc les nombres de solutions sont des nombres de z qui appartient a l'interval (0,2013) (ouvert) et c'est facile de trouver
amicalment