Bonsoir tout le monde .
Voici une autre démarche , mais plus longue et moins subtile que celle de nmo .
Première étape : montrons que pour tout n de N , on a : n² - n + 1 et n² + n + 1 sont impairs .
n² - n + 1 = n(n - 1) + 1 = 2 x n(n - 1)/2 + 1 : n(n - 1) est le produit de deux entiers successifs ,
donc il est pair .
n² + n + 1 = n(n + 1) + 1 = 2 x n(n + 1)/2 + 1 : n(n + 1) est le produit de deux entiers successifs ,
donc il est pair .
Conclusion : pour tout n de N ; n² - n + 1 et n² + n + 1 sont impairs .
Deuxième étape : montrons que pour tout n de N , on a : PGCD(n² + n + 1 ; n) = 1 .
n² + n + 1 = 2 x n(n + 1)/2 + 1 ===> (n² + n + 1) - 2(n + 1)/2 x n = 1 ;
donc PGCD(n² + n + 1 ; n) = 1 .
Troisième étape : montrons que pour tout n de N , on a : PGCD(n² + n + 1 ; n² - n + 1) = 1 .
Procédons par la méthode de l'absurde : on suppose que PGCD(n² + n + 1 ; n² - n + 1) <> 1 ,
il existe donc d appartenant à N* tel que PGCD(n² + n + 1 ; n² - n + 1) = d ,
et comme n² + n + 1 et n² - n + 1 sont impairs alors d appartient à 2N* + 1 ,
donc il existe (A ; B) appartenant à N*² tel que : n² + n + 1 = Ad et n² - n + 1 = Bd ,
donc : n² + n + 1 = n² - n + 1 + 2n ;
donc : Ad = Bd + 2n ;
donc : (A - B)d = 2n ;
donc : d divise n (d ne peut pas diviser 2 car d appartient à 2N* + 1 ) ;
donc : d est un diviseur commun différent de 1 de n et de n² + n + 1 , ce qui absurde .
Conclusion : pour tout n de N , PGCD(n² + n + 1 ; n² - n + 1) = 1 .
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