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Exercice:
Soient a et b deux entiers naturels premiers entre eux.
1. Démontrer que pour tout entier relatif n, il existe un couple d’entiers relatifs (s,t) tels que n=sa + tb.
2. Soit q un entier strictement plus grand que a, et r un entier tel que 0 ≤ r ≤ a.
Vérifier que
qa + r=(q-r)a + r(a+1). En déduire que pour tout entier
n≥ a(a+1), il existe un couple d’entiers naturels (s,t) tels que
n=sa+ t(a+1).
3). En utilisant une identité de Bézout, montrer qu’il existe deux entiers naturels consécutifs, l’un multiple de a, l’autre multiple de b.
4. Déduire des questions précédentes qu’il existe un entier n_0 tel que pour tout n ≥ n_0 , il existe un couple d’entiers naturels (s, t) tels que
n = sa + tb.
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