Inégalité

a>=b>=c
a+b+c=1
a^2+b^2+c^2=1
a^3+b3+c^3=1
Montrer que l'unique solution est
a=1;b=0;c=0

Bonjour;

On a : 1 = (a + b + c)³ = ((a + b) + c) = (a + b)³ + 3(a + b)c(a + b + c) + c³
= a³ + b³ + 3ab(a + b) + 3(a + b)c + c³ = 1 + 3(a + b)(ab + c) ;

donc : (a + b)(ab + c) = 0 ; donc : a + b = 0 ou ab + c = 0 ; donc b = - a ou c = - ab .

Cas n° 1 : b = - a .
On a : c = 1 et 2a² + 1 = 1 et c³ = 1 ;
donc : c = 1 et a² = 0 ;
donc : c = 1 et a = 0 et b = 0 ; solution à écarter car on : c > a .

Cas n° 2 : c = - ab .
En travaillant sur l'égalité a + b + c = 1 , On a tout d'abord a + b - ab = 1 ;
donc a + b - ab - 1 = 0 ; donc : a(1 - b) + (b - 1) = 0 ;
donc : (b - 1)(1 - a) = 0 ; donc on a : b - 1 = 0 ou 1 - a = 0 ; donc : b = 1 ou a = 1 ; donc
ce cas se scinde en deux sous - cas :

Cas n° 21 : b = 1 .
En travaillant sur l'égalité a² + b² + c² = 1 , on a : a² + b² + a²b² = 1 ;
donc : 2a² + 1 = 1 ; donc : a² = 0 ; donc : a = 0 et c = 0 ; solution à écarter car on : b > a .

Cas n° 22 : a = 1 .
En travaillant sur l'égalité a² + b² + c² = 1 , on a : a² + b² + a²b² = 1 ;
donc : 2b² + 1 = 1 ; donc : b² = 0 ; donc : b = 0 et c = 0 .

Conclusion : L'unique solution du système est : a = 1 et b = c = 0 .

1 = (a + b + c)^2 = a²+b²+c²+2(ab+ac+bc) = 1+2(ab+ac+bc)
==> ab+ac+bc=0 (*)

1 = (a + b + c)³=a³+b³+3(a+b)²c+3(a+b)c²+c³=1+3a²c+3b²c+6abc+3ac²+3bc²
==> a²c+b²c+2abc+ac²+bc²=0
==> a²c+b²c+abc=0 car ac²+bc²=-abc par (*)
==> c=0 ou a²+b²+ab=0
==> c=0 car si  a²+b²+ab=0 ==> 0=a²+b²+ab>2|ab|+ab>|ab|==> ab=0 ==>a²+b²=0 ==> a=b=0 => c=1>b absurde
c=0 ==>  ab=0 par (*)==> a=1, b=0 car a+b=1 et a>b

Hier à 15:45
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[n'est-ce?]1 = (a + b + c)³= [3a²b+3ab²+]a³+b³+3(a+b)²c+3(a+b)c²+c³
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