Pour deux nombres entiers n relatif et m positif non nul, on note n mod.m. ou n [m] le reste de la division entière de n par m, soit 0 =< n - n mod.m. < m (<= m -1). Donc n mod.m. = n -m *E(n /m).
Aussi pour toute puissance p, n^p [m] = (n[m])^p [m], pour tout facteur q, q *n [m] = q *(n [m]) [m], et pour tout autre entier u, n -u [m] = (n [m] -u [m]) [m]
Si x^3 -y^2 = 2, alors (x [m])^3 -(y [m])^2 = 2 [m] (=0 si m= 1 ou 2 et 2 si m>2)
m =2 : x et y sont les deux soit pairs soit impairs.
m= 3 :
n [3] n^3 [3] n^2 [3]
0 0 0
1 1 1
2 2 1
x [3]\y [3] 0 1 2
0 0 2 2
1 1 0 0
2 2 1 1
Tableau. Reste de la division entière de x^3 -y^2 par 3 en fonction des congruences modulo 3 de x et y.
On déduit suite à cette opération de l'équation que {(x [3] = 0) et (y [3] = 1 ou 2)} ou {(x [3] = 2) et (y [3] = 0)}, mais il faudrait essayer avec d'autres fréquences m- 4 8 9
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