olympiades de math 2007 stage(1)-devoir2-

exercice 1:
ABC est un triangle . la bissectrice de l'angle BAC coupe le coté [BC] en D .le centre du cercle circonscrit au triangle ABC coincide avec le centre du cercle inscrit au triangle ADC, determiner les mesures des angles du triangle ABC .

exercice 2:
determiner toutes les fonctions f:R*+ --->R*+ verifiant:
(x+y)(f(yf(x)))=x²(f(x)+f(y)) (pr tt x;y >0 )

exercice 3:
a,b et c sont trois nombres reels . montrer que :
(a²+b²+1)(c²+d²+1)>=2(a+c)(b+d)

exercice 4:
M est un ensemble a n elements .de combien de facon peut-on choisir les ss-ensembles A,B et C de M tels que:
A(inter)B et B(inter)C et C(inter)A sont differents de l ensemble vide
et A(inter)B(inter)C=ensemble vide

l exrcice de geo est tres facile c est du nouveux college
on trouve en une ligne que A=B=2pi/5 et C=pi/5

sol exercice 2
f[1/f(1)]=f(1) donc f(1)=1
on remplacent x par 1 on trouve f(y)=1/y qui est la seul solution
EXERCICE 3
cuchy : (a²+b²)(c²+d²)=>(ac+bd)²
donc (a²+b²+1)(c²+d²+1)=>(ac+bd)²+a²+b²+c²+d² +1
la moyenne : (ac+bd)²+1=>2(ac+bd)
donc (a²+b²+1)(c²+d²+1)=>(a²+c²+2ac) + (b²+d² +2bd) =(a+c)²+(b+d)²
la moyenne : (a+c)²+(b+d)²=>2(a+c)(b+d)

sol 4eme exercice
on procede par recurence soit u_n le nombre qu on cherche pour un ensemble de n elements dabord il faut remarquer que n est necessairement =>3
et que u_3=3
pour un ensemble de n+1 elements le nombre c est u_n +3u_n=4u_n
parceque a chaque choix de A;B et C il en a 3 autres possibilites pour le (n+1)ieme soit d appartenaire a A soit a B soit a C
donc le nombre chercher et donc U_n=3*[4^(n-3)]