olympiade de math ..-2007..- stage2-test-1-..

EXERCICE 1 :
X,Y et Z sont trois reels positifs tels que xyz=1

Montrer que : x-1/y+1 +y-1/z+1 +z-1/x+1 sup ou = 0

EXERCICE 2 :
n est un entier naturel strictement superieur a 6.Montrer que si n-1 et n+1 sont premiers alors n^2(n^2+16) est divisible par 720. La reciproque est elle vrai ?

EXERCICE 3 :
ABC est un triangle tel que AC sup a AB. X est un point de la demi droite [BA) qui n appartient pas au segment [AB] et y est un point du segment [AC] tels que BX=CA et CY=BA. La droite (XY) coupe la mediatrice du segment [BC] en P.
MONTRER que : BPC +BAC=180
"où BAC et BPC designent des angles".

EXERCICE 4 :
Une urne contient a boules blanches et a+1 boules noires .On tire successivement et avec remise n boules de l'urne.Determiner le nombre de tirages donnant un nombre pair de boules blanches.

EXERCICE 2 :

* )tout les premiers >=5 sont congru à 1 ou -1 (mod 6)
donc si n+1 et n-1 sont premier alors 6|n
et donc 36|n² et 4|n²+16
donc 36*4=144|n²(n²+16)
* )n different de 1 et de -1 modulo 5,donc n=0,2 ou 3 (mod 5)
et dans tt ces cas 5|n²(n²+16)
donc 144*5=720|n²(n²+1)
la receproque et faux
car si n=0[mod 6*5] on a 720|n²(n²+16) mais n+1 n'est pas toujours premier.

NON c est encore plus facile (la decomposition en facteurs premiers)

720=2^4 * 3^2 * 5

il faut juste remarquer que n est pair et que n est congru a 0 modulo 3 et que

5 divise n(n-2)(n-1)(n+1)(n+2) et conclure.
pour la reciproque soit que tu donne un nombre ne verifiant pas les conditions en question soit que tu trouves comme tu as pensé je crois, une suite de nombres contredisant les conditions.