olympiades de math 2007 stage(1)-devoir3-

exercice 1:
demontrer que les bissectrices interieures des angles d'un trapeze sont concourantes si et seulement si la somme des longueurs des cotés paralleles est egale a la somme des cotés non paralleles.

exercice 2:
soient x1,x2,...,xn des reels strictement positifs (n>1) tels que :
1/(x1+1)+1/(x2+1)+.....+1/(xn+1)=1
montrer que rac n eme(x1x2....xn)>=n-1

exercice 3:
determiner toutes les fonctions f:R--->R verifiant
f(1)=1 et f(xy+f(x))=xf(y)+f(x) (pr tt x,y de R)

exercice 4:
n est un entier naturel non nul donné. determiner le maximum du produit :
sinx1.sinx2.....sinxn sachant que tanx1.tanx2......tanxn=1

pour le deuxieme exercice je pense que c est <=n-1
on etulise la concavite de la fonction rac n ieme et on applique l inegalite de jensen
on trouve rac n ieme (x1/(1+x1)+......xn/(1+xn)>=rac n x1/(1+x1)+.........+rac n xn/(1+xn)
en remarquant que xi/(1+xi) =1-1/(1+xi) et en applique l inegalite de la moyenne au deuxieme terme de l inegalite mais en etulisant seulement
les rac n 1/(1+Xi) et a la fin on trouve rac n ieme de x1x2x3....xn<=n-1

Anouar, d'ou tu as les problemes ?

merci

slt

Non l enoncé du deuxieme exercice est juste et la concavité de la racine nieme ne donne rien du tt.en fait cet inegalilé peut etre generalisée pour une somme egale a k.j l ecrirai bientot au forum.
a+

Pour le 3eme exo j'ai trouvé que la fonction id verifie l'equation fonctionnelle.

pour le premier exercice c est trop facile
===>)
on suppose que les bissectrices se coupent en un point I
alors d(I;AB)=d(I;BC)=d(I;CD)=d(I;AD) =h
alors Aire(trapeze)=(AB+BC+CD+DA)*h/2=(AB+CD)*(2h/2)
donc AB+CD= BC+DA
<====)
soit J le point d intersection des deux bissectrices de C^ et D^
alors d(J;BC)=d(J;CD)=d(J;DA)= L
POSONT d(J;AB)=L'
ona
Aire(trapeze)=(BC+CD+DA)*L/2 +AB*L'/2 =(L+L')(AB+CD)/2
en remplaçant AB+CD par BC+DA on trouve L=L' CQFD

tu ne vois pas que f(1)=1 alors la fonction nulle n est pas solution.

sol du deuxieme exo
posons 1/(1+xi)=yi donc ona 0<yi<1 pour i=0;1,...n
donc ça revient a demontrer que
rac n ieme (1/y1 -1)(1/y2 -1).....(1/yn -1)>=(n-1)
puisque 1/rac n ieme(y1.y2.....yn) >= n
alors il suffit de prouver que
n*rac n ieme (1-y1)(1-y2)....(1-yn)>=n-1
c a d [log(1-y1)+log(1-y2)+....+log(1-yn)]/n >= log(1-1/n)
la fonction definie par ]0,1[-----> lR
X ------> log (1-x) est convexe
la derivee second est tjs >0
donc ona
[log(1-y1)+log(1-y2)+....+log(1-yn)]/n >= log[(n-1)/n]=log(1-1/n) CQFD

sol du 3eme exercice
d abord commencant par voir que pour tout x on a f(x+1)=f(x)+1 il suffit de prendre x=1 et laisser y
donc pour tout entier p on f(p)=p
on va demonter maintenent que pour un rationnel p/q ona f(p/q)=p/q
pour ce faire remplacant x par p et y par 1/q
ona f(p/q +p)=pf(1/q) +p =f(p/q)+p donc f(p/q) =p f(1/q) donc en posant p=2q on trouve f(1/q)=1/q et par suite f(p/q)=p/q
maintenent pour x reel non rationnel
on sait qu il existe une suite de rationnel qui converge vers x
x=lim(p_n/q_n) quand n tend vers l infinit
donc f(x)=f(lim(p_n/q_n)) =lim f(p_n/q_n) =lim p_n/q_n=x
donc la seul fonction qui satisfait la condition c est la fonction id

sol du 4eme exo
on va plutot chercher le maximum ddu produit
lsin(x1)sin(x2).....sin(xn)l en valeur absolue
ona lsin(xi)l = ltg(xi)l/ \/(1+tg²(xi)) or 1/ \/(1+tg²(xi))<= (1/ \/(2ltgxil)
donc
lsin(x1)....sin(xn)l<=(\/2/2) puissance n
or cette valeur est atteinte par le produit sin(x1)....sin(xn) lorsque
x1=x2=....xn= pi/4 donc c est la valeur maximal.