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Sujet: facile mais belle Ven 09 Fév 2007, 10:37
soient a,b et c des réels positifs tels que abc <=8. Montrer que 1/(a^2-a+1)+1/(b^2-b+1)+1/(c^2-c+1)>=1
radouane_BNE Modérateur
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Sujet: Re: facile mais belle Lun 30 Avr 2007, 16:50
voici ma solution. posons x=1/a,y=1/b et z=1/c.alors xyz>=1/8 et l'inégalité proposée est équivalente à: S=x²/(x²-x+1)+y²/(y²-y+1)+z²/(z²-z+1)>=1. appliquant cauchy shwartz on obtient: ((x²+y²+z²)-(x+y+z)+3)*s>=(x+y+z)² il suffit alors de montrer que: x²+y²+z²+2(xy+yz+zx)>=x²+y²+z²-(x+y+z)+3 c'est- à -dire: x+y+z+2(xy+yz+zx)+3. d'aprés les inégalités classiques des moyens on x+y+z>=3rac3(xyz)=3/2 et xy+yz+zx>=3rac3(x²y²z²)=3/4 d'où le résultat.
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