Hello dj_tenti, salut.
1) si l'un au moins des quatre entiers est nul, on voit aisément que les 3 autres le sont aussi.
2) si les quatre sont non nuls, alors :
Soit on a x+y >= xy, soit on a x+y < xy.
Dans ce dernier cas, on a donc ab < a+b
Donc, l'un au moins des couples (x,y) ou (a,b) vérifie : somme >= produit. Disons (x,y).
x+y >= xy ==> xy - x - y + 1 <= 1 ==> (x-1)(y-1) <= 1
==> x = 1 ou y=1 ou x = y = 2
2.1) cas x = 1
y + 1 = ab
y = a + b
==> a + b = ab - 1 ==> (a - 1)(b - 1)=2 ==> (a,b) = (2,3) ou (3,2)
et (x,y) = (1, 5)
2.2) cas x = y = 2
==> a = b = 2
Les solutions sont donc (en tenant compte des symétries) :
(0,0) (0,0)
(1,5) (2,3)
(1,5) (3,2)
(5,1) (2,3)
(5,1) (3,2)
(2,3) (1,5)
(2,3) (5,1)
(3,2) (1,5)
(3,2) (5,1)
(2,2) (2,2)
Patrick
Accueil 
