équation fonctionnelle itérative

Bonjour,

Existe-t-il des valeurs de a et b réels telles que l'équation fonctionnelle f(f(x)) = af(x)+b possède au moins une solution continue, non constante, périodique et strictement positive ?

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Patrick

f(f(x)) = af(x)+b ou f(f(x)) = af(x)+bx? (j'imagine que cette question fait suite à ce topic.
EDIT : question bête.. la deuxième n'aura pas de solution périodique pour b différent de 0, donc on peut se restreindre à la première ^^

EDIT2 : encore autre chose, comment en es-tu arrivé à l'hypothèse "périodique"? Ca n'a pas l'air particulièrement canonique.

Salut Mathman,

mathman a écrit:

f(f(x)) = af(x)+b ou f(f(x)) = af(x)+bx?
EDIT : question bête.. la deuxième n'aura pas de solution périodique pour b différent de 0, donc on peut se restreindre à la première ^^

Effectivement.
Il s'agit bien de la première.

Ok.

(je réponds juste pour préciser que j'ai encore édité mon message précédent, pendant que tu écrivais ta réponse ^^)

Hello !

mathman a écrit:

f(f(x)) = af(x)+b ...
EDIT2 : encore autre chose, comment en es-tu arrivé à l'hypothèse "périodique"? Ca n'a pas l'air particulièrement canonique.

Je ne suis pas sûr de comprendre "particulièrement canonique".
Il y a des tas de solutions à ces équations fonctionnelles, périodiques ou non.

J'ai mis "périodique" un peu pour le fun, et pour éviter que les gens se précipitent sur la solution f(x) = ax+b.

En fait, ce n'est pas un pb très difficile. Il s'agit juste pour moi de montrer que f(f(x)) = g(f(x)) Pour tout x de R n'implique pas systématiquement f(x) = g(x) sur R.

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Patrick

pco a écrit:

Je ne suis pas sûr de comprendre "particulièrement canonique".

Je voulais dire que ça n'avait pas l'air très naturel.

pco a écrit:

J'ai mis "périodique" un peu pour le fun, et pour éviter que les gens se précipitent sur la solution f(x) = ax+b.

Ok.

pco a écrit:

En fait, ce n'est pas un pb très difficile.

Ouais.

pco a écrit:

Il s'agit juste pour moi de montrer que f(f(x)) = g(f(x)) Pour tout x de R n'implique pas systématiquement f(x) = g(x) sur R.

Oui ok ^^.

Maintenant, pour le problème en lui-même :
c'est possible ssi |a| <= 1 je pense.
Bon peut-être que pour a = 1 il faut que b = 0.
Ceci donne l'opportunité de choisir un intervalle I tel que aI+b soit une partie de I. Alors on définit f(x) = ax+b sur I et on l'étend continûment en une fonction en zig-zag...
(alors f(x) se trouve dans I et donc f(f(x))=af(x)+b...)
Pour l'autre sens, a = 1 est facile.
Et en calculant f(f(...(f(x))...)) on voit que le fait que cette suite soit bornée entraîne que |a| <= 1...
Bon il y avait une condition de stricte positivité.
Il faudra que b > 0 pour remplir cette condition...

C'est tout bon !

|a| <= 1 et b > 0 ET b=0 si a = 1

Exemple avec a=1 et b= 0 : f(x) = 1 + |2frac(x/2) - 1| où frac(x) = x - [x] = x - ent(x).

Si on rajoute la condition dérivable, alors le cas |a|=1 doit être écarté.

L'hypothèse périodique + continuité implique tout de suite f bornée et IM(f) = [u,v]

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Patrick

pco a écrit:

C'est tout bon !

|a| <= 1 et b > 0 ET b=0 si a = 1

Ok ^^

pco a écrit:

Exemple avec a=1 et b= 0 : f(x) = 1 + |2frac(x/2) - 1| où frac(x) = x - [x] = x - ent(x).

Yep.

pco a écrit:

L'hypothèse périodique + continuité implique tout de suite f bornée et IM(f) = [u,v]

lol ok j'ai aussi trouvé cet argument un peu après.
Mais j'ai oublié de l'écrire ici.