problème N°76 de la semaine (09/04/2007-15/04/2007)

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

Bonjour ;
Solution postée
voici la solution d'elhor abdelali

bonjour
sollution postée
voici la solution d'aissa
voici ma solution:
on a : prod(k=1^(n-1),sin(kpi/n))=n/2^(n-1)
or sin(pi-x)=sin(x)
donc pour n=7
(sinpi/7sin2pi/7sin3pi/7)²=7/2^6
donc sinpi/7 sin2pi/7 sin3pi/7=V(7)/8

salut
sollution postée
voici la solution de selfrespect
salut Mr samir voiçi ma solution du pb dse la semaine
!! prenons le pb en sa generalité !!
*on a pour tt z de C



ALORS pour tt z de C on a

cad
qq soit z de C

en particulier pour z=1
on a

on remarquant que


alors
p , de N
mnt pour p=3
on a

salam
solution postée

voici la solution de mahdi
on utilisera le fait que sin(a)sin(b)=-1/2(cos(a+b)-cos(a-b)) et sin(a)cos(b)=1/2(sin(a+b)+sin(a-b)) on obtient le resultat cherché tt simplement!!!

sinpi/7sin2pi/7sin3pi/7=(sqrt7)/8

Bonjour
Solution postée
voici la solution d'abdelbaki attioui
On pose a=Pi/7 et z=exp(2ia)
On vérifie que
-8isin(a)sin(2a)sin(3a)=z^6-z^4-z²+z^5+z^3-z
On pose : x=z^4+z²+z et y=z^6+z^5+z^3
On a x+y+1=0 et xy=2 ==> x et y racines de t²+t+2=0
==> -8isin(a)sin(2a)sin(3a)=y-x=-irac(7)
A+

solution posteé


voici la solution de conan
Probleme de la semaine N 76 / resolu par Conan



on pose : A = sin p/7 * sin 2p/7 * sin 3p/7

donc : A² = sin² p/7 * sin² 2p/7 * sin² 3p/7

on sait que : sin² X = 1/2(1-cos 2X)

alors A² = 1/8 (1-cos 2p/7) (1-cos 4p/7) (1-cos 6p/7)

= [ 1-( cos2p/7 + cos4p/7 + cos 6p/7) + (cos2p/7 cos4p/7 + cos4p/7 cos6p/7+co6p/7 cos2p/7 ) – cos2p/7 cos4p/7 cos6p/7 ]



Or : cos 2p/7 cos 4p/7 = 1/2 ( cos 6p/7 + cos 2p/7)

Et : cos 4p/7 cos 6p/7 = 1/2 (cos 10p/7 + cos 2p/7 ) = 1/2 ( cos 4p/7 + cos 2p/7 )

Et : cos 6p/7 cos 2p/7 = 1/2 ( cos 8p/7 + cos 4p/7 ) = 1/2 ( cos 6p/7 +cos 4p/7 )



C.à.d que : cos2p/7 + cos4p/7 + cos 6p/7 = cos2p/7 cos4p/7 + cos4p/7 cos6p/7+co6p/7 cos2p/7



Dans un autre coté : cos 2p/7 cos 4p/7 cos 6p/7 = sin (2^3*2p/7) / 2[color:def9=yellowgreen:def9]^3 sin2p/7 = 1/8



Donc : A² = 1/8 (1-1/8 ) = 7/8² et A > 0 car p/7 et 2p/7 et 3p/7 sont de [0;П]



Alors : A = rac(7) / 8 ou bien sin p/7 * sin 2p/7 * sin 3p/7 = rac(7) / 8

Bonjour

Solution postée
voici la solution de khamaths
Bonjour samir;

posons P(x) = 1+ x +x² +x^3 +x^4 +x^5 + x^6
On sait que : P( x)= produit(k=1--->3)[( x - x_k )( x - x_k barre )] / x_k =e^(ikpi/7 ) (1<=k<=3)
P(x) = produit (k=1--->3) [ x² -2xcos(kpi/7) +1]
(*) x=1 ===> 7 = produit (k=1---->3)2² [sin(kpi/14)]²
7 = 8² [produit (k=1--->3) sin(kpi/14)]²

=====> produit(k=1--->3) sin(kpi/14) = rac(7)/8 (1)

(*) x= -1====> 1 = 8²[produit(k=1--->3) cos(kpi/14)]²

=====>8*produit(k=1--->3)cos(kpi/14) = 1 (2)

Conclusion : En multipliant (1) et (2) on obtient le résultat

bonjour
solution postée
solution illisible (administration)

bonjour
solution postee
voici la solution de badr
on utilise cette formule
\prod_{k=1}^{k=n}sin(npi/2n+1)=rac(2n+1)/(2^n)pour resoundre
sin(pi/7)sin(2pi/7)sin(3pi/7)

alors sin(pi/7)sin(2pi/7)sin(3pi/7)=\prod_{k=1}^{k=3}sin(pi/7)=rac(7)/8

salut.
solution postée
voici la solution de boukharfane

d'abord calculons sin(7x) en fonction de sinx.
après une bataille de calcule on obtient:
sin(7x)=-64sin(x)(sin(x)^6-7/4sin(x)^4+7/8sin(x)^2-7/64).(1)
posons: sin(x)=a et x=pi/7.k avec k=-3;-2;-1;0;1;2;3.
on remarque que 0 n'est pas une solution de l'equation (1).
si k=3 alors x1=sin(3pi/7).
si k=2 alors x2=sin(2pi/7).
si k=1 alors x3=sin( pi/7).
si k=-1 alors x4= -x3.
si k=-2 alors x5=-x2.
si k=-3 alors x6=-x1.
tel que x1;x2;...;x6 les solution de l'équation:
-64x(x^6-7/4x^4+7/8x^2-7/4)=0
d'autre part on a x1.x2.x3.x4.x5.x6=-7/64.
alors sin(pi/7).sin(2pi/7).sin(3pi/7)=rac(7)/8.

slt
solution postée
voici la solution de Bestfriend

Slt
On a
Sin(pi/7)*sin(2pi/7)*sin(3pi/7)=rac[{(1-cos(2pi/7)*(1-cos(4pi/7)*(1-cos(6pi/7)}/8]
Après des calculs en aura :
=rac[1-cos(2pi/7)*{cos(6pi/7)+1}+cos(4pi/7)*{cos(2pi/7)+cos(6pi/7)}-cos(2pi/7)*cos(4pi/7)cos(6pi/7)}/8]
=Sin(pi/7)*sin(2pi/7)*sin(3pi/7)=rac[{1-2cos(2pi/7)*cos²(3pi/7)+2cos(2pi/7)*cos²(4pi/7)- cos(2pi/7)*cos(4pi/7)cos(6pi/7)}/8]
Puisque cos²(3pi/7)=cos²(4pi/7)
Sin(pi/7)*sin(2pi/7)*sin(3pi/7)=rac[{1- cos(2pi/7)*cos(4pi/7)cos(6pi/7)}/8]
On a -cos(2pi/7)*cos(4pi/7)cos(6pi/7)=cos(pi/7)* cos(2pi/7)*cos(4pi/7)
=1/8*sin(8pi/7)/sin(pi/7)=-1/8
On déduit que
Sin(pi/7)*sin(2pi/7)*sin(3pi/7)=rac[{1-1/8}/8]=rac[(7/8 )/8]=(rac7)/8
Bestfriend

salut Mr samir j'ai poster ma reponce en format word dant ta boite email

c'etait mieux !

Mahdi a écrit:

salam
solution postée

voici la solution de mahdi
on utilisera le fait que sin(a)sin(b)=-1/2(cos(a+b)-cos(a-b)) et sin(a)cos(b)=1/2(sin(a+b)+sin(a-b)) on obtient le resultat cherché tt simplement!!!

sinpi/7sin2pi/7sin3pi/7=(sqrt7)/8

tu peut posté ta solution Mahdi j'aime bien l'avoir

ou est ma réponse
je l a envoyez dans sous format word
???

Mahdi a écrit:

salam
solution postée

voici la solution de mahdi
on utilisera le fait que sin(a)sin(b)=-1/2(cos(a+b)-cos(a-b)) et sin(a)cos(b)=1/2(sin(a+b)+sin(a-b)) on obtient le resultat cherché tt simplement!!!

sinpi/7sin2pi/7sin3pi/7=(sqrt7)/8

je pense que je me suis trompée

ma solution est juste ou non ?

BeStFrIeNd a écrit:

Mahdi a écrit:

salam
solution postée

voici la solution de mahdi
on utilisera le fait que sin(a)sin(b)=-1/2(cos(a+b)-cos(a-b)) et sin(a)cos(b)=1/2(sin(a+b)+sin(a-b)) on obtient le resultat cherché tt simplement!!!

sinpi/7sin2pi/7sin3pi/7=(sqrt7)/8

tu peut posté ta solution Mahdi j'aime bien l'avoir

Moi aussi c'est que j'ai esseyé avec catte méthode et ca na po marché et je me suis résigner à esseyer de calculer A²

j'ai pas fait attention je l'ai pris comme si pi/7+2pi/7+3pi/7=pi alors que c 6pi/7

codex00 a écrit:

BeStFrIeNd a écrit:

Mahdi a écrit:

salam
solution postée

voici la solution de mahdi
on utilisera le fait que sin(a)sin(b)=-1/2(cos(a+b)-cos(a-b)) et sin(a)cos(b)=1/2(sin(a+b)+sin(a-b)) on obtient le resultat cherché tt simplement!!!

sinpi/7sin2pi/7sin3pi/7=(sqrt7)/8

tu peut posté ta solution Mahdi j'aime bien l'avoir

Moi aussi c'est que j'ai esseyé avec catte méthode et ca na po marché et je me suis résigner à esseyer de calculer A²

regarde ma methode !

Mahdi a écrit:

j'ai pas fait attention je l'ai pris comme si pi/7+2pi/7+3pi/7=pi alors que c 6pi/7

nn tu as raison tu as pi/7+2pi/7+(sin3pi/7 = sin 4pi/7) = p