problème N°86 de la semaine (18/06/2007-24/06/2007)

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

"solution postée"
(solution non trouvée)(administration)

SOLUTION POSTEE
voici la solution d'anass

on sais que 0 ≤a^3+b^3 (car a et b sont positifs)
on a a^3+b^3 ≤ a-b
si a=b≠0 alors a-b=0 donc a^3+b^3 ≤0 (contradiction) cas suprimé
si a=b=0 alors a²+b²=0 ≤1
si a≠b≠0 alors a-b≠0 et on a a^3+b^3 ≤ a-b
donc (a^3+b^3 )/(a-b)≤ 1
et en a a²+b²-(a^3+b^3 )/(a-b)= (-a²b-ab²)/(a-b)≤0
donc a²+b²≤(a^3+b^3 )/(a-b)≤1
a partir des deux cas possible en deduit que a²+b²≤1

solution postée
voici la solution de mni
slt samir
on a a°3-b°3=(a-b)(a°2+b°2+ab)
donc
a°2+b°2=(a°3-b°3)/(a-b)-ab
on a >0 et b>0
donc
a°3-b°3<a°3+b°3
on a a°3+b°3<a-b
donc a°3-b°3<a-b
ce qui veut dire
(a°3-b°3)/(a-b)<1
alors
(a°3-b°3)/(a-b)-ab<1-ab
ab>0
donc 1-ab<1
conclusion
(a°3-b°3)/(a-b)-ab<1
donc
a°2+b°2<1

Bonjour,
Solution postée.
voici la solution

Bonsoir Mr SAMIR!!!
Ma solution postée
voici la solution de BOURBAKI
Bonjour Mr SAMIR.
Voici ma proposition de solution pour le problème de la Semaine Numéro 86.

Les deux nombres a et b sont supposés appartenir à IR+

1er Cas : si b=0 alors l’hypothèse de travail s’écrit a^3<=a
Alors :
Si a=0 , le problème est réglé car alors a^2+b^2=0<=1
Si a<>0 , on divise par a et on obtient a^2<=1 et alors là aussi
le problème est réglé car a^2+b^2=a^2<=1 .

2ème Cas : si b>0 , introduisons le paramètre t réel en posant a=t.b , on a alors t>=0
L’hypothèse de travail s’écrit a^3+b^3=b^3.[1+t^3]<=b.[t-1] soit puisque b>0 b^2 <= [(t-1)/(t^3+1)]
Quant à la conclusion , elle s’écrit a^2+b^2=b^2.[t^2+1] <= 1
Soit b^2 <= 1/[t^2+1]
SI ON PROUVE que [(t-1)/(t^3+1)] <= 1/[t^2+1] alors la conclusion désirée sera satisfaite !!!!
Or prouver que [(t-1)/(t^3+1)]<=1/[t^2+1] est équivalent , tous calculs faits , à montrer que t^2-t+2>=0 ???
Ceci est VRAI puisque t^2-t+2 = [t-1/2]^2+(7/4) >= (7/4)

Ce qui termine la solution.
AMITIES . BOURBAKI

Bonsoir,
Solution postée,
cordialement
voici la solution de jamel

solution postée
voici la solution d'abdeilah
si a=b alors a=b=0.
sinon il suffit de montrer que a²+b² \leq (a^3+b^3)/a-b
ou ab²-a²b-2b^3\leq 0
factoriser par b donne en facteur un terme toujours négatif (discriminent=-7a²\ leq 0) CDFD
a+

Bonjour
Solution postée
voici la solution de khamaths
Bonjour Samir

(*) Si a =b =0 évident

(*) Si a#0 ou b#0

On a : 0 < a^3+b^3 <= a-b
=====> a^3 -a <= 0
=====> b<a <= 1
=====> a² +ab < 2
=====> a²b +ab² -2b <= 0
=====> a-b<= a+b -a²b -ab²
=====> a-b <= (1-ab)(a+b)
=====> a^3 +b^3 <= (1-ab)(a+b)
=====> a²+b² -ab <= 1-ab
=====> a² +b² <= 1

salut tout le monde
solution postée
voici la solution d'aissa
salut samir
a et b etant positifs et a^3+b^3=< a-b alors o=<b=<a
et on a : 0=< a^3-b^3 =< a^3+b^3 =< a-b
si a=b alors a^3+b^3=0 alors a=b=o ( car si non a^ +b^3>o)
donc a²+b²=0 =<1
si b<a alors (a-b)(a²+b²+ab) =< a-b
alors a²+b²+ab =<1 or ab>=o
donc a²+b²=<1..

je veux je peux

Bonjour ;
Solution postée
voici la solution d'elhor abdelali
a²+b² >= 2ab ==> ab(a²+b²) >= 2a²b² ==> a^4 + b^4 + a^3.b+ a.b^3 >= a^4 + b^4 + 2a²b²
et donc (a+b)(a^3+b^3) >= (a²+b²)² et en utilisant l'hypothèse on a
(a²+b²)² =< a²-b² soit a²+b² =< V(a²-b²) =< a =< 1

bonus : cas d'égalité (a, b)=(1, 0)
Sauf erreur bien entendu

Bonjour
Solution postée
voici la solution d'abdelbaki.attioui
Bonjour,
a,b>=0 et a>=a^3+b^3+b ==> a>=a^3 et a>=b
==> 0=<b=<a=<1
==> (a+b)(1-a²-b²)=a+b-a^3-b^3-a²b-ab²>b(2-a²-ab)>=0
==> a²+b²=<1
A+

salut!!


SOLUTION POSTEE
voici la solution de badr
on a a^3+b^3<=a-b <====>a^3<=a et b^3<=-b

aet b £ R+ donc 0 <=a²<=1 et b²<=-1 est absurbe car b²>=0

alors b²<=0 ou b²=0

on deduirt que a²+b²<=1

Solution postee°
voici la solution de selfersept
Bonsoir Mr Samir ;
soit a et b >0 verifiants * a^3+b^3=<a-b (on remarque a>b )
*.a+b.* ==>
a^4+b^4+ab(a²+b²)=<a²-b²
==> 0<ab(a²+b²)=<a²-b²-(a+b)(a^3+b²a-a²b-b^3)=(a²-b²)[1-(a²+b²)]
et puisque (a²-b²)>0
on deduit 1-(a²+b²)>0
==> a²+b²<1

Salut,
Solution postée
voici la solution de codex00
On a :a^3+b^3=<a-b
ainsi: (a+b)(a²+b²-ab)=<a-b
d' ou: a²+b²=<(a-b)/(a+b) +ab

donc: il faut prouver que (a-b)/(a+b) +ab=<1
c.à.d que: a-b+a²b+ab²=<a+b <=> 0=<2b-a²b-ab²
ce qui est vrai en consultatnt le discriminant (delta) de l'equation -x²b-xb+2b=0 tel que x>=0

P.S: si a=b donc a-b=0 ainsi a^3+b^3=<0 et comme (a;b)€IR²+ donc a=b=0 donc a²+b²=0=<1

SALUT TOUT LE MONDE .
SOLUTION POSTEE
voici la solution de Fouad


a^3 + b^3 < = a – b
*on remarque que a – b >= 0 (1) car a > 0 et b > 0
• si a = b
donc 2 a^3 <= 0

a <= 0
mais on a a > 0 donc a # b (2)
de (1) et (2) : a – b > 0
*on a (a – b)^3 = a^3 – b^3 – 3ab.(a – b)
(a – b)^2 = (a^3 – b^3) / (a – b) - 3ab (3)
D’autre part on a : a^3 – b^3 <= a^3 + b^3
Donc : a^3 – b^3 <= a – b
( a^3 – b^3) / (a – b) <= 1 ; (a – b > 0 )
( a^3 – b^3) / (a – b) – 3ab <= 1 – 3ab
Suivant la relation (3) : (a – b)^2 <= 1 – 3ab
a^2 + b^2 <= 1 – ab

lorsque 1 - ab <= 1

donc a^2 + b^2 <= 1

solution postée
voici la solution de stof065
sllt
on a
si a=b=>a^3+b^3<=0
puisque a^3+b^3 des nombres positifs
a=b=>a=b=0
a²+b²=0<=1(réalisé)
si a#b
on a a-b>=a^3+b^3>0
on deduit que a>b
on a
-b^4<=ba^3+ab^3+b^4
<=>a^4-b^4<=a^4+ba^3+ab^3+b^4
<=>a^4-b^4<=(a+b)(a^3+b^3)<=(a+b)(a-b)=a²-b²
<=>(a²-b²)(a²+b²)<=a²-b²
(puisque a>b a²-b²>0)on deduit que a²+b²<=1
SToF065