olympiades 2007 2sm 5eme test ex2

on peut remarquer que l'équation est équivalente à
x²+1=(y+2)(y²-2y+4).je pense que cela peut nous aider.

je crois ke ca pe marcher par disjonction des cas:
x=0[7]
x=1[7]
...

ouspcsoft ©

j'ai déja cette congruence mais ca pas marché

aannoouuaarr a écrit:

montrer que l'équation : x^2-y^3=7 n'admet pas de solution (x,y) de N²

Une très belle solution (qui n'est pas de moi) :
x^2 + 1 = y^3 + 8 =(y+2)(y^2 - 2y +4)
Modulo 4, x^2+1 ne peut valoir que 1 ou 2, alors que y^3+8 ne peut valoir que 0, 1 ou 3. Donc y^3+8 vaut 1 modulo 4 et y vaut 1 modulo 4, donc y^2 - 2y +4 vaut 3 modulo 4.

Donc y^2 - 2y +4 contient au moins un facteur premier p égal à 3 modulo 4 et x^2 +1 est divisible par p.

Mais alors, on a x^2=-1[p], donc x^4=1 [p] et x^(p-1)=1[p] et donc 4 divise p-1 et donc p vaut 1 modulo 4, ce qui est en contradiction avec le fait que x^2+1 a au moins un diviseur premier congru à 3 modulo 4.

Donc cette équation est impossible.

--
Patrick