A\dénombrable connexe

Soit A un ouvert connexe par arcs de IR², et B C A dénombrable. On va montrer que A \ B est encore connexe par arcs.

1) Soit x dans A. Montrer que A \{x} est connexe par arcs.

2) Soit z dans B(0; 1). Montrer qu'il existe un homéomorphisme de
B(0; 1) égal à l'identité sur le bord qui envoie 0 sur z.

3) Soient x; y; z des éléments distincts de A. Montrer qu'il existe un homéomorphisme de A qui envoie y sur z et stabilise
x (on pourra utiliser un argument de connexité sur A \{x}.

4) Soient x# y dans A. Montrer qu'il existe un nombre indénombrable de chemins dans A qui relient x à y, et ne se rencontrent deux à deux qu'en x et y.

5) Conclure.

1) Evident. (choisir un voisinage ouvert de x)
2) Hmm ça peut même être accompli par les transformées de Möbius z -> (az+b)/(cz+d).
3) On choisit un chemin de y à z ne rencontrant pas x (par 1) ), puis on choisit un voisinage ouvert de ce chemin et on utilise 2).

Bon en fait je pense que je peux prouver 4) directement et ensuite conclure...
Je ne vois pas vraiment pourquoi prouver 1), 2), 3)...

On choisit un chemin de x à y qui ne soit pas croisé. Alors il y a un voisinage de ce chemin dans A qui est homéomorphe à une boule (il y a un delta tel que le delta-voisinage de ce chemin dans R² se trouve dans A)... mais pour une boule la proposition est claire.

Soient x#y deux points de A ouvert connexe par arcs de IR².
Soit C={ f:[0,1] --> A continu / f(0)=x et f(1)=y}. Il s'agit de montrer que C est indéombrable.

Ouaip.

abdelbaki.attioui a écrit:

Soient x#y deux points de A ouvert connexe par arcs de IR².
Soit C={ f:[0,1] --> A continu / f(0)=x et f(1)=y}. Il s'agit de montrer que C est indénombrable.

Il suffit de contruire une famille de chemins de x à y indexée par un ensemble non dénombrable