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Sujet: connexe par arcs Mer 22 Oct 2014, 08:51
Dans R² on considère l’ensemble A des points dont une coordonnée au moins est irrationnelle : A=R²\Q² Montrer que A est connexe par arcs
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abdelbaki.attioui Administrateur
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Sujet: Re: connexe par arcs Mer 22 Oct 2014, 09:13
Soit a , b ∈ A . Il existe une suite (xn) de Q²: x0=0 et xn--->b-a car Q² est dense dans R²
Soit f:[0,1] ---> A l'arc continu tel que pour tout n, f(1/(n+1))=a+xn et f est affine sur[1/(n+2),1/(n+1)]
alors f(1)=a et f(0)=b
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Oeil_de_Lynx Expert sup
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Sujet: Re: connexe par arcs Jeu 23 Oct 2014, 21:26
abdelbaki.attioui a écrit:
Soit a , b ∈ A . Il existe une suite (xn) de Q²: x0=0 et xn--->b-a car Q² est dense dans R²
Soit f:[0,1] ---> A l'arc continu tel que pour tout n, f(1/(n+1))=a+xn et f est affine sur[1/(n+2),1/(n+1)]
alors f(1)=a et f(0)=b
BSR A. Attioui
Il y aurait une Faute dans Ta Démo .... Le segment de droite qui joint les 2 points a+x(n+1) et a+x(n) n'est pas forcément inclus dans A On peut y rencontrer des points de QxQ
Amicalement . Lhassane
abdelbaki.attioui Administrateur
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Sujet: Re: connexe par arcs Ven 24 Oct 2014, 12:06
Oeil_de_Lynx a écrit:
abdelbaki.attioui a écrit:
Soit a , b ∈ A . Il existe une suite (xn) de Q²: x0=0 et xn--->b-a car Q² est dense dans R²
Soit f:[0,1] ---> A l'arc continu tel que pour tout n, f(1/(n+1))=a+xn et f est affine sur[1/(n+2),1/(n+1)]
alors f(1)=a et f(0)=b
BSR A. Attioui
Il y aurait une Faute dans Ta Démo .... Le segment de droite qui joint les 2 points a+x(n+1) et a+x(n) n'est pas forcément inclus dans A On peut y rencontrer des points de QxQ
Amicalement . Lhassane
Merci pour la remarque judicieuse Par densité, le choix de x(n) dans Q² est pris de telle sorte qu'on aura [a+x(n+1), a+x(n)] c A
Une autre façon: Soit B=(Q x R\Q) U (R\Q x Q) alors B est un convexe de R² B C A et B dense dans R² ==> A est connexe par arcs Car A est coincé entre un convexe et son adhérence.
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Oeil_de_Lynx Expert sup
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Sujet: Re: connexe par arcs Ven 24 Oct 2014, 14:23
BJR A.Attioui
La construction sophistiquée de ta suite (xn)n ajoutée au fait que les Sections Si a est dans H alors A n {(x, y) dans IRxIR| x = a}={a}xIR Si b est dans H alors A n {(x, y) dans RxIR| y = b}=IRx{b} Sont en fait des droites parallèles aux axes des abscisses ou ordonnées
Au final , ton segment joignant deux points distincts de A est une ligne brisée formée de bouts parallèles aux axes et qui se raccordent bien .... C'est exactement ce que j'ai fait sans utiliser les suites dans le Topic :
PS : Ta deuxième méthode fait plus Topologie Générale .... Bien des résultats que j' ai oubliés ... Cela fait comme même Neuf Ans que j'ai pris le DV .....