connexe et non connexe par arcs

Bonjour,


AA++

Bonjour,

Si A est connexe par arcs dans R^2 alors sa projection sur l'axe des ordonnées est aussi connexe par arcs.
Or ici la projection est le segment privé des irrationnels qui n'est pas connexe par arcs.

lolo

Bon je me suis trompé dans le message précédent. La projection n'est pas le segment.

lolo

Bon voilà déjà (si j'ose dire) la connexité :
soit f de P dans {0,1} continue, on suppose f(0)=0 (sinon c'est pareil avec 1-f) supposons qu'il existe a = Inf{x / f(x) = 1 } par continuité
f(a) = 1 mais comme a >0 par continuité f(a)=0 absurde !
f est donc constante P est connexe.

lolo