Une calculette férue de trigonométrie !

Votre calculette scientifique est cassée. Quand elle est allumée, elle affiche 0. Les touches numériques ne marchent pas et les seules touches d’opérateurs et de fonctions qui sont en bon état sont le sinus, le cosinus, la tangente et les fonctions inverses correspondantes. La mémoire M+ fonctionne et le cadran d’affichage est en bon état. Comment calculer la somme de la série harmonique =1 +1/2 +1/3 +1/4 + …. ?

Bonjour Conan.

Cette question a déjà été posée par Selfrespect (qui n'avait jamais fait de réponses aux propositions qui lui ont été faites, ce qui fait que je ne sais pas si cela lui convenait ou pas).

1) je suppose bien sûr qu'on ne cherche pas à calculer la somme pour n infini puisque la série diverge mais plutôt la somme à un rang quelconque (dans les limites de capacité de la calculatrice)

2) je suppose aussi que si M+ existe, il existe aussi une touche pour rappeler / afficher le contenu de la mémoire, sinon M+ est inutile.

3) Dès lors, je propose de calculer 1+1/2+1/3+1/4 et de le mettre en mémoire. Il faut donc calculer successivement 1, 1/2, 1/3, 1/4 et faire M+ entre chaque (sans éteindre la calculette, bien sûr).

Je n'ai pas trouvé de façon de calculer 1/n, mais j'en ai une pour calculer 1/racine(n), ce qui revient au même (mais c'est plus long).

Base du raisonnement : la formule "sin(arctan(1/racine(n))) = 1/racine(n+1)", formule simple que je vous laisse vérifier.

Donc :

Allume ==> affichage = 0
cos ==> affichage = 1
M+ ==> M=1
arctan - sin ==> affichage = 1/racine(2)
arctan - sin ==> affichage = 1/racine(3)
arctan - sin ==> affichage = 1/racine(4) = 1/2
M+ ==> M = 1 + 1/2
arctan - sin ==> affichage = 1/racine(5)
arctan - sin ==> affichage = 1/racine(6)
arctan - sin ==> affichage = 1/racine(7)
arctan - sin ==> affichage = 1/racine(8 )
arctan - sin ==> affichage = 1/racine(9) = 1/3
M+ ==> M = 1 + 1/2 + 1/3
arctan - sin ==> affichage = 1/racine(10)
arctan - sin ==> affichage = 1/racine(11)
arctan - sin ==> affichage = 1/racine(12)
arctan - sin ==> affichage = 1/racine(13)
arctan - sin ==> affichage = 1/racine(14)
arctan - sin ==> affichage = 1/racine(15)
arctan - sin ==> affichage = 1/racine(16) = 1/4
M+ ==> M = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4

...

Avec de la patience, on calcule n'importe quel terme de la série.

Il y a probablement plus simple

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Patrick