Bonjour abdelbaki,
- abdelbaki.attioui a écrit:
- Montrer qu'il y a une infinité de carrés non multiple de 10 dont la représentation dans la base 10 peut être coupé en deux carrés. Par exemple 7² = 49=4|9 là 4 et 9 sont des carrés ; 13² = 169=16|9 là 16 et 9 sont des carrés, ... (on exclu des multiples de 10 afin d'éviter des réponses insignifiantes comme 49 = 4|9, 4900 = 4|900, 490000 = 4|90000, ...).
On cherche donc a,b,c et n tels que 10^n a^2 + b^2 = c^2 avec b^2 < 10^n.
Donc 10^n a^2 = u*v avec 0 < (u-v)/2 < 10^(n/2)
Je propose de rechercher les solutions dans lesquelles u et v soient 10^n/2 et 2a^2 (ou l'inverse). D'où ma démonstration :
5Racine(10) est irrationnel et sa représentation décimale contient donc une infinité de chiffres non nuls. Je m'intéresse dorénavant aux seuls nombres p > 0 (en quantité infinie) tels que la p ème position après la virgule de 5racine(10) soit non nulle, donc tels que [10^p 5 racine(10)] (où [x] désigne partie entière de x) soit non divisible par 10.
Soit alors :
n=2p+3 >= 5 (puisque p > 0),
t = 5 10^p racine(10). Noter que t^2 est entier, que 4t^2=10^n, et que t^2 est divisible par 10
a = [t], non divisible par 10 (par choix de p) et a < t (puisque t ne peut être entier)
On a t > [t] > t-1 et donc t^2 > a^2 > (t-1)^2 et t^2 > a^2 > (t-1)^2 - 1
Soient alors : u = 2t^2, v = 2a^2 (on a bien uv = 10^n a^2), b=(u-v)/2= t^2 - a^2 et c=(u+v)/2= a^2 + t^2
On a bien u > v
On a bien b = t^2 - a^2 < t^2 - ((t-1)^2 - 1) = 2t et donc b^2 < 4t^2 = 10^n
Enfin, comme t^2 est divisible par 10 et pas a^2, on a bien b et c non divisibles par 10
et on a enfin :
10^n a^2 + b^2 = c^2 avec b^2 < 10^n
Exemples :
5 racine(10) = 15,81138830084...
On peut prendre p=1,2,3,4,5,6,7, 10,11, ....
p=1 : n=5, a=[50 racine(10)]=158, b=36, c=49964 et donc :
24964|1296 = 49964^2, avec 24964=158^2 et 1296=36^2
p=2 : n=7, a=[500 racine(10)]=1581, b=439, c=4999561 et donc :
2499561|0192721 = 499561^2 avec 2499561=1581^2 et 192721=439^2
etc ...
Merci Abdelbaki. Très joli problème qui m'a paru très simple au premier abord et beaucoup moins au second ... (et même au troisième)
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Patrick
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