Olympiade casa 2007 TCS

alors anas t'as trouvé la solution du dernier exercice????

et pour cet exo tu l'as résolu?

anas1208 a écrit:

Merci Mr bourbaki je vais voir cela. Et si vous pouviez nous donner la solution du 2e exo svp. Je pense qu'il faut exprimé chaque terme de [(10^4+324)(22^4+324)(34^4+324)(46^4+324)(58^4+324)]/[(4^4+324)(16^4+324)(28^4+324)(40^4+324)(52^4+324)]
sous la forme de x^4+4y^4 ensuite on simplifie
Mais je ne suis pas sur?? Est-ce la bonne méthode ??

Voila la méthode que j'ai suivi amine mais je suis pas sur ke sé just
Alé frajouna f lexo 4

j'ai suivis la même méthode mais je n'ai pas trouvé une relation entre les nombres pour simplifier

alor jé ocune idée é vous. (mais je pens ke ma méthode é bonn il fo just simplifié) Mouhim Mr bourbaki?? aidez nous svp

wé lol!!!!!!!

Bonjour !!!
je suis entr'ain d'y réfléchir !!!
Je vous promets de répondre!!!! LHASSANE

et le 4 sé selui dont je vx avoir la solution il meneeeeeerrrrrvvvvvvv lol

svp mr donnez nous un peu de temps pour y réflechir et merci

pour lexo 4 jé une petite idée pour commencer (en fet je pens ke je px men sortir ac set idé) mais jatan de connaitr lé votr pour comparer

moi aussi anas j'ai effectué une translation pour 1/n et toi?

moi jé essayé de tracer des hauteurs (Z la prjection de F sur (HB) et ainsi de suite) puis j'ai utilisé pitagore (pour connaitre la difference entre les coté des deux barres qui se trouvent à l'intérieur du carré) ainsi on pourra déduire n en résolvant un système d'équation a deux équation de 2e degré.
Mais ce sytème est immense donc 3gazt bach nhallou lol

Bonsoir à Tous et Toutes !!!
Une solution de l'Exo1.
Cette proposition de solution est la synthèse de beaucoup d’éléments de réponses émanant de Vous et que j’ai mis en forme pour une meilleure clarté !!
On pose S=9^1+9^2+9^3+……….+9^2007
C’est la somme des 2007 premiers termes d’une progression géométrique de 1er terme 9 et de raison 9
On veut montrer que S est divisible par 91 =13.7
Puisque 13 et 7 sont premiers entre eux , il faudra montrer à la fois que S est divisible par 13 puis par 7 ( C’est un résultat d’arithmétique )
Divisibilité de S par 13
On a 2007=669.3
Donc on va réecrire S en regroupant ses termes par paquets de 3 , on en aura 669 paquets , de façon précise si on note a=9^1+9^2+9^3=819 alors on peut écrire :
S=a.{1+9^3+9^6+9^9+……….+9^2004} soit
S=a.{1+729+729^2+………+729^668}
Il est clair que a=819=13.63 donc 13 , divisant a , divise donc S .
Divisibilité de S par 7
On a 2007=223.9
Donc on va réecrire S en regroupant ses termes par paquets de 9 , on en aura 223 paquets , de façon précise si on note b=9^1+9^2+9^3+……..+9^9 alors on peut écrire :
S=b.{1+9^9+9^18+9^27+……….+9^1998} soit
S=b.{1+[9^9]+[9^9]^2+[9^9]^3+…+[9^9]^222}
Le reste modulo 7 de b est le même que celui de
c=2^1+2^2+2^3+……..+2^9
On a c=2.[(2^9-1)/(2-1)]=2.[2^9-1]=1022=7.146
c étant divisible par 7 alors b l’est aussi et par conséquent S est aussi divisible par 7 .
LHASSANE

Merci Mr boubaki et pour l'exo 4 et 2 svp j'ai posté mes idées j'attend votre commentaire. Merci d'avance.

BOURBAKI a écrit:

Bonsoir à Tous et Toutes !!!
Une solution de l'Exo1.
Cette proposition de solution est la synthèse de beaucoup d’éléments de réponses émanant de Vous et que j’ai mis en forme pour une meilleure clarté !!
On pose S=9^1+9^2+9^3+……….+9^2007
C’est la somme des 2007 premiers termes d’une progression géométrique de 1er terme 9 et de raison 9
On veut montrer que S est divisible par 91 =13.7
Puisque 13 et 7 sont premiers entre eux , il faudra montrer à la fois que S est divisible par 13 puis par 7 ( C’est un résultat d’arithmétique )
Divisibilité de S par 13
On a 2007=669.3
Donc on va réecrire S en regroupant ses termes par paquets de 3 , on en aura 669 paquets , de façon précise si on note a=9^1+9^2+9^3=819 alors on peut écrire :
S=a.{1+9^3+9^6+9^9+……….+9^2004} soit
S=a.{1+729+729^2+………+729^668}
Il est clair que a=819=13.63 donc 13 , divisant a , divise donc S .
Divisibilité de S par 7
On a 2007=223.9
Donc on va réecrire S en regroupant ses termes par paquets de 9 , on en aura 223 paquets , de façon précise si on note b=9^1+9^2+9^3+……..+9^9 alors on peut écrire :
S=b.{1+9^9+9^18+9^27+……….+9^1998} soit
S=b.{1+[9^9]+[9^9]^2+[9^9]^3+…+[9^9]^222}
Le reste modulo 7 de b est le même que celui de
c=2^1+2^2+2^3+……..+2^9
On a c=2.[(2^9-1)/(2-1)]=2.[2^9-1]=1022=7.146
c étant divisible par 7 alors b l’est aussi et par conséquent S est aussi divisible par 7 .
LHASSANE

merci infiniment Mr.

Bonsoir à Tous et Toutes!!!
Pour l'Exo2
<< x et y deux relatifs . Dévelopé [(x-y)²+y²][(x+y)²+y²] >>
Cette question préliminaire sert-elle à quelquechose ???????
LHASSANE

oui bien sûr

oui bien sûr qu'elle sert à quelque chose (enfin je pense)
Elle facilite la simplification. J'ai déja posté mar éponse pour ça j'attend que vous la validiez :
pense qu'il faut exprimé chaque terme de [(10^4+324)(22^4+324)(34^4+324)(46^4+324)(58^4+324)]/[(4^4+324)(16^4+324)(28^4+324)(40^4+324)(52^4+324)]
sous la forme de x^4+4y^4 ensuite on simplifie
Mais je ne suis pas sur?? Est-ce la bonne méthode ??

nn je ne crois pas anass car je l'ai essayé hier dans le test mais ça n'a pas marché il n y a aucune relation entre les nombres obtenues mais j'ai une petite idée on remarque que la somme s'écrit sous forme
((x)^4+4y^4)((x+12)^4+4y^4)..................

Bonsoir à Tous et Toutes !!!
Si x et y sont dans Z , alors on a sans aucun problème :
[(x-y)^2 + y^2].[(x+y)^2 + y^2]=x^4 + 4.(y^4)
Remarquons tout de suite que 324=4.81=4.(3^4) donc 3 peut jouer le rôle de y
Ainsi , en particulier , on a :
[(x-3)^2 + 3^2].[(x+3)^2 + 3^2]=x^4 + 4.(3^4)=x^4 + 324
On donne à x les valeurs 10,22,34,46,58
( Pour la partie NUMERATEUR )
10^4 + 324 = [7^2 + 3^2].[13^2 + 3^2]
22^4 + 324 = [19^2 + 3^2].[25^2 + 3^2]
34^4 + 324 = [31^2 + 3^2].[37^2 + 3^2]
46^4 + 324 = [43^2 + 3^2].[49^2 + 3^2]
58^4 + 324 = [55^2 + 3^2].[61^2 + 3^2]
Puis x=4,16,28,40 et 52
( Pour la partie DENOMINATEUR )
4^4 + 324 = [1^2 + 3^2].[7^2 + 3^2]
16^4 + 324 = [13^2 + 3^2].[19^2 + 3^2]
28^4 + 324 = [25^2 + 3^2].[31^2 + 3^2]
40^4 + 324 = [37^2 + 3^2].[43^2 + 3^2]
52^4 + 324 = [49^2 + 3^2].[55^2 + 3^2]
On forme alors l’expression demandée , il se produira des SIMPLIFICATIONS et on obtiendra l’expression finale qui est :
[61^2 + 9]/[1^2 + 9]= [61^2 + 9]/10
LHASSANE
PS: l'idée d'Anas était bonne !!!!!

donc ma méthode était bonne Mr bourbaki ?? (olala je savais et j'ai pas dans le test j'ai le moral a plat lol)

Oh que si , c'était l'idée LUMINEUSE !!!!!!
LHASSANE

wé pour moi je l'ai figuré sur la feuille lol

anas tu ne l'as pas mise sur ta feuille

nnnnnn ta je sui sorti 3aad el ma assomé (lidé)
Javé essay de multiplié par le mourafik lol é jé raté. Mé je te fé une confidence je me sui centré sur lexo n°4 é cé la tout mon erreur. Hania l'année prochaine (si je réussis pas cette anée) je ne ferais pas la même erreur. A ton avis prkoi on fé dé erreur cé pour en apprendre é cé la tout la moral (excus pr lortograph mé jé vrement po le temp lol)