problème N°81 de la semaine (14/05/2007-20/05/2007)

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

salut tout le monde
solution postée
انسان +تراب+وقت = انتاج حضاري
voici la solution d'aissa
salut samir
on q Sn est croissante a verifier...
Vn =ln(Sn)=sum (0^n.ln(1+2/3n)/(1+1/3n))
or ln(1+2/3n)/(1+1/3n)) est eauivqlent a 1/3n
et su; ( 1^ n .1/k) diverge et tend vers +oo
donc Vn ) DIVERGE ET TEND VERS +oo.
qlors lim Sn =+oo.

السلا م عليك ورحمة الله تعالى و بركاته.
solution postée.
voici la solution de boukharfane radouane
on commence d'abord par montrer un petit lemme

pour tout x de [0,1] on a ln(x+1)>=xln(2).

pour cela on considére la fonction f(x)=ln(x+1)-xln(2) qui montre le lemme precedent.

posons ensuite la suite u(n)=ln(S(n)).

on a u(n)=ln(1+1)+ln(1+1/4)+...+ln(1+1/(3n-2))

le lemme nous mène à conclure que u(n)>=ln2(1+1/4+1/7+...+1/(3n-2))

le dernier terme est une suite harmonique qui tends vers + infini. d'où la¨réponse.donc S(n) tends vers + infini.

السلا م عليك ورحمة الله تعالى و بركاته.
solution postée.
voici la solution de Badr

$problème N°81 de la semaine (14/05/2007-20/05/2007) 0e5dadf7a8b10f53933c32a41e4b0e8c$

Bonjour
Solution postée
voici la solution d'abdelbaki.attioui
Bonjour,
(3n+1)S_(n+1)=(3n+2)S_n. La suite (S_n) est alors strict croissante.
ln(S_(n+1)/S_n)=ln((3n+2)/(3n+1))=ln(1+1/(3n+1))~ 1/(3n)
Le lemme de Cézaro ==> 3ln(S_n)~1+1/2+..+1/n
==> lim S_n =+00
A+

Maître Nombre de messages : 98 Date d'inscription : 17/03/2006

Bonjour
Solution postée.
voici la solution de khamaths
Bonjour Samir

On a : ln S_n = sum_k=1^n {ln [(3k-1)/(3k-2)]} = Sum_k=1^n {ln[ 1 + 1/(3k-2)]}

Or ln (1+x) >= x /(1+x) pour tt x positif ( petite étude de fonction pourrait le confirmer)

===> sum ln [1+ 1/(3k-2)] est une série à termes positifs > sum {1/ (3k-1)}
.
Or sum {1/(3k-1) } > 1/3 Sum{1/k} qui est divergente vers + l' infini .

Donc : lim lnS_n = +00 ====> lim S_n = + 00

Débutant Nombre de messages : 1 Age : 35 Date d'inscription : 21/12/2005

Salut!
Solution postée
voici la solution de Scarlett

Je pose Un= ln(Sn) Sn>0 , n>=1
on a alors Un= somme de k=1 à n de ln(3k-1 / 3k-2)
= somme de k=1 à n de ln(1+ 1/3k-2)

ln(1 +1/3k-2) >0 et est équivalent à 1/3k
donc Un équivalent à somme de 1 à n de 1/3k qui DV
donc (Un) DV
D'où Sn tend vers +l'infini.
Voilà!

Sujet: Re: problème N°81 de la semaine (14/05/2007-20/05/2007)

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