f : U ---> IR continue ==> f non injectif

Soit f : U ---> IR continue où U le cercle unité du plan complexe.
Monrer que f n'est pas injective.

Plus généralement :
soit f : S^n -> IR^n continue, montrer qu'elle n'est pas injective.

Bonsoir ;
Par l'absurde soit f : U ---> IR continue et injective
la connexité et la compacité de U donne f(U)=[a,b] avec a<b
si z£U est l'unique antécédent de (a+b)/2 on a f(U-{z})=[a,b]-{(a+b)/2}
ce qui est absurde vu que U-{z} est connexe alors que [a,b]-{(a+b)/2} ne l'est pas (sauf erreur bien entendu)

On pourra aussi considerer g(z)=f(z)-f(-z)