f continue

trouver tt les fonction continue f
f(1/x)+f(x)=f(x+1)

De R dans R?

oui
dsl, car j'ai oublier de le signaler

f est bornée car limite en +00 et -00 est f(1) ( f(1/x+1)=f(x+1)).
Donc f(0)=0.

f(x)=f(x/(x-1))
f(1/x)=f( 1/(1-x)) à suivre

Citation :

f est bornée car limite en +00 et -00 est f(1)

par forcement.

Citation :

f(0)=0.

comment tu as trouvé ça stp?

c'est clair que lim(x->+ou-00)f(x)=f(1) car f(1+1/x)=f(x+1).

f(1/x)+f(x)=f(x+1) ==>quand (x->0) on a f(1)+f(0)=f(1) ==>f(0)=0

pour f(0)=0, je suis daccord
mais pour le fait que f est borné non

Bonjour,

abdelbaki.attioui a raison : f(x) s'annule au moins en -phi, -1, 0, 1/2 et phi-1 avec phi nombre d'or.

Quant au fait que f est bornée, c'est certain également :
En partant de f(x) = f(x/(x-1)), on voit que :
f bornée sur [1,2] (puisque continue) ==> f bornée sur [2, +oo[
f bornée sur [0,1] (puisque continue) ==> f bornée sur ]-oo,0]

Donc f bornée sur R

--
Patrick

ok,
et f(x)=?

Bonjour,

pilot_aziz a écrit:

ok,
et f(x)=?

Je cherche ...
Il y a bien sûr f(x)=0
Je peux en trouver une infinité qui vérifient la propriété sur R+*
Et une infinité qui vérifient la propriété sur R-*

Le problème, bien sûr est d'en trouver (s'il en existe) qui la vérifie sur R*.

Rassure-moi : tu connais la solution ?
(Si oui, ne la donne pas tout de suite).

--
Patrick

salut

j'ai pas de solution,
peux tu me donner une fonction qui verifie la propriete sur R+*?

Salut

pilot_aziz a écrit:

peux tu me donner une fonction qui verifie la propriete sur R+*?

Ok, ci-dessous deux exemples et la solution générale si la propriété n'est exigée que pour x dans R+* :

Exemple 1 :
===========
f(x) = (x^2(x+1) - |2x-1| - |x-1|(x-1) - x^2|x-2|)/(2x(x-1)) pour x différent de 0 et 1 et prolongée par continuité en 0 et 1 :
f(0) = 0 et f(1) = 1

Démonstration :

On peut récrire f en fonction des intervalles :
Sur [0,1/2], f(x) = x^2/(x-1)
Sur [1/2,1], f(x) = x + 1 - 1/x
sur [1, 2], f(x) = x
sur [2,+oo[, f(x) = x/(x-1)

Pour x dans [0,1/2] :
--> f(x) = x^2/(x-1)
--> f(1/x) = (1/x)/((1/x)-1) = 1/(1-x)
--> f(x+1) = x +1
==> f(x) + f(1/x) = x^2/(x-1) + 1/(1-x) = x + 1 = f(x+1) ==> OK

Pour x dans [1/2, 1] :
--> f(x) = x + 1 - 1/x
--> f(1/x) = 1/x
--> f(x+1) = x + 1
==> f(x) + f(1/x) = x + 1 - 1/x + 1/x = x + 1 = f(x+1) ==> OK

Pour x dans [1,2] :
--> f(x) = x
--> f(1/x) = (1/x) + 1 -1/(1/x) = 1/x + 1 - x
--> f(x+1) = (x+1)/(x+1-1) = 1 + 1/x
==> f(x) + f(1/x) = x + 1/x + 1 - x = 1 + 1/x = f(x+1) ==> OK

Pour x dans [2,+oo[ :
--> f(x) = x/(x-1)
--> f(1/x) = (1/x)^2/((1/x)-1) = 1/(x(1-x))
--> f(x+1) = (x+1)/(x+1-1) = 1 + 1/x
==> f(x) + f(1/x) = x/(x-1) - 1/(x(x-1)) = (x^2 - 1)/(x(x-1)) = (x+1)/x = f(x+1) ==> OK

CQFD

Exemple 2 :
==========

Sur [0,1] : f(x) = (x+1)^2/(1 + x^2) - 1/(x^2 + (x-1)^2)
Sur [1,+oo[ : f(x) = x^2/(1 + (x-1)^2)
Je te laisse la démo

Cas général :
============

La solution générale, pour la propriété vraie sur R+* est :
Soit a(x) fonction quelconque de [1,2] dans R vérifiant a(2) = 2*a(1)

Alors, f(x) definie comme suit vérifie la propriété (et toute solution est de ce format) :
Sur [0,1/2] : f(x) = a(x+1) - a(1/(1-x))
Sur [1/2,1] : f(x) = a(x+1) - a(1/x)
Sur [1, 2] : f(x) = a(x)
Sur [2, +oo[ : f(x) = a(x/(x-1))

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Patrick

pour x dans IR* on pose g(x)=f(1/x) alors
g(x)=g(1-x) ==> la droite x=1/2 axe de symétrie. Donc il suffit de connaître g sur [1/2,+00[.

Patrick a donné la forme générale de f sur R*+ cela suffit à mon avis.

Salut abdelbaki.attioui

abdelbaki.attioui a écrit:

pour x dans IR* on pose g(x)=f(1/x) alors
g(x)=g(1-x) ==> la droite x=1/2 axe de symétrie. Donc il suffit de connaître g sur [1/2,+00[.

Patrick a donné la forme générale de f sur R*+ cela suffit à mon avis.

Malheureusement non.
Ma forme générale définit f sur [0, +oo[, donc g sur ]0, +oo[ et elle ne garantit pas du tout que les portions sur ]0,1/2[ et ]1/2, 1[ so,nt symétriques. cela nécessite des contraintes sur le choix de a(x) dans ma solution générale.

Et c'est là tout le problème : déterminer ces contraintes et voir si elles sont résolubles ...

--
Patrick

Bonjour à ceux qui suivent ce sujet !

J'ai pu montrer, en collaboration avec un autre inernaute (sur fr.sci.maths) qu'on a nécessairement :
f(1+x) + f(1-x) = 2f(1) pour tour x de R

J'ai pu également construire une infinité de solutions vérifiant la propriété sur R* entier mais sans garantie de continuité en 1.

J'essaie de voir si on peut forcer une de ces solutions à être continue en 1 ou si, au contraire, la continuité en 1 est impossible.

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Patrick