problème N°85 de la semaine (11/06/2007-17/06/2007)

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

Bonjour
Solution postée
voici la solution d'abdelbaki.attioui
Voici la solution du Pb 85
Bonjour,
2S=(somme de i=0 à n) 1/(1+x_i^k)+1/(1+x_(n-i)^k)
=(somme de i=0 à n)1/(1+x_i^k)+x_i^k/(1+x_i^k)=n+1 ==> S=(n+1)/2
A+

solution postée
voici la solution de schwartz
si on inverse l'ordre de la somme, et on l'ajoute a la somme initiale
on obtient n,
donc la somme vaut n/2

Bonjour Mr SAMIR!
Solution postée
voici la solution de BOURBAKI
Bonjour Mr SAMIR.
Voici ma proposition de solution pour le problème de la Semaine Numéro 85.
Supposons n IMPAIRE n=2p+1 alors dans la somme S , on peut apparier le facteur correspondant à i et celui correspondant à n-i , il y aura en tout p+1 Paquets , chaque Paquet vaut [1/(1+xi^k)]+[1/(1+xn-i^k]= [1/(1+xi^k)]+[1/(1+(1/xi)^k]=(1+xi^k)/(1+xi^k)=1
et de là la somme S vaudra p+1=(n+1)/2

Supposons maintenant n PAIR n=2p alors dans la somme S , on fait comme précédemment , seulement dans ce cas il y aura un facteur ORPHELIN , c’est le terme d’indice p=n/2 et la somme S vaudra donc 1/(1+xp^k)+(n/2)
Sachant que xp^2=1 ( ce qui exige xp=1 )
Alors : S=1/2 +(n/2)=(n+1)/2

En conclusion et indépendemment de la parité de n , S est égale à (n+1)/2 .
Ce qui termine la solution.
AMITIES . LHASSANE ( BOURBAKI )

Solution postée
voici la solution de selfersept
Salut Mr Samir
on a q q soit i de {0,1...,n} xi=1/x_(n-i)=x'i
*si n est pair
alors
S=\sum _{0}^{n} 1/(1+xi^k)=[\sum_{0}^{n/2}(1/(1+xi^k)+1/]+1/2 ?
(1+x'i^k))=\sum_{0}^{n/2} (1)=n/2+1
alors S=(n+1)/2
*si n est impair de meme on trouve
S=n/2


? car n est pair alors {x_(n/2)}²=1 ==> 1/(1+1^k)=1/2

Solution postée
voici la solution de Raa23
1/(1+Xi^k) = Xn-i^k/(1+Xn-i^k)

donc 1/(1+Xi^k) + 1/(1+Xn-i^k) = 1

donc 2S=n+1

S=(n+1)/2

solution postee
voici la solution de wiles
on sait que 1/(1+xi) + 1/(1+x(n-i))=1/(1+xi)+xi/(1+xi)=1
si n=2p+1 alors S=p+1
si n=2p alors S=p+1/(1+xp)
et on a xp*x(n-p)=xp*xp=1
si xp= - 1 c'est absurde
si xp=1 alors S=p+1/2

Solution postée
désolé (solution non trouvée )(administration )

Bonjour
Solution postée
voici la solution de khamaths
Bonjour Samir

Sn = Sum_i=0^n [1/(1+xi^k)]
= Sum_i=0^n [1 - x_i/(1+xi^k)]
= (n+1 ) - Sum_i=0^n [ 1/ ( 1+ x_{n-i}^k)]
= (n+1) - Sum _i=0^n [1/( 1+ x_i^k)]
= (n+1) - Sn

====> Sn = (n+1)/2

bnjour Mr Samir
solution posté
cordinalement
voici Solution de Conan au probleme de la semaine : N°85
on a : x_i * x_n-i = 1 <=> 1/(1+(x_i)^k) = (x_n-i)^k / (1+(x_n-i)^k)

Donc : S = sum_{i=0,n}1/(1+(x_i)^k) = sum_{i=0,n}(x_n-i)^k / (1+(x_n-i)^k)

2S =sum_{i=0,n}1/(1+(x_i)^k) + sum_{i=0,n}(x_n-i)^k / (1+(x_n-i)^k) =...= n+1

S = (n+1)/2

Bonjour,
Solution postée !
cordialement
voici la solution de jamel

solution postée
voici la solution de yalcin
Pour tout n de IN*, Pour tout i de [0,n] ,Pour tout k de IN

on a : 1/(1+(x_i)^k)+1/(1+(x_(n-i))^k)=1

1)

Supposons n pair ,alors n=2m

D'où S(k,n)=1/(1+(x_m)^k)+Somme(1/(1+(x_i)^k)+1/(1+(x_(n-i))^k),i=0..(m-1))

Or 1/(1+(x_i)^k)+1/(1+(x_(n-i))^k)=1

D'où S(k,n)=m+1/(1+(x_m)^k)

2) Supposons n impair, alors n=2m+1

D'où S(k,n)=Somme(1/(1+(x_i)^k)+1/(1+(x_(n-i))^k),i=0..m)

D'où S(k,n)=m+1



Finalement on obtient :

En posant f(n)=(1-(-1)^n)/2 (n pair f(n)=0 ,n impair f(n)=1) , qui est utile ,car E(n/2)=(n-f(n))/2

Pour tout n de IN*,Pour tout k de IN :

S(k,n)=[(n-f(n))/2]+f(n)+[f(n+1)]*[1/(1+(x_((n-f(n))/2))^k)]

Bonjour!

Solution postée.
voici la solution de Kendor
On remarque que pour tout entier naturel k,1/(1+x_i^k)+1/(1+x_(n-i)^k)=1

Si n est impair :n=2p+1
Donc Sk est la somme des 1/(1+x_i^k),i variant de 0 à 2p+1
Donc Sk=somme des 1/(1+x_i^k),i variant de 0 à p + somme des 1/(1+x_i^k),i variant de p+1 à 2p+1
Si j=2p+1-i,alors Sk= somme des 1/(1+x_i^k),i variant de 0 à p + somme des 1/(1+x_(n-j)^k),j variant de 0 à p
Donc Sk= somme des 1,i variant de 0 à p
Donc Sk=p+1=(n+1)/2

Si n est pair,n=2p
Donc Sk est la somme des 1/(1+x_i^k),i variant de 0 à 2p
Donc Sk est la somme des 1/(1+x_i^k),i variant de 0 à p-1+1/(1+x_p^k)+ somme des 1/(1+x_i^k),i variant de p+1 à 2p
On applique la même méthode qu’au-dessus
Donc Sk=somme des 1,i variant de 0 à p-1+1/(1+x_p^k)
=p+1/(1+x_p^k)
Or x_p*x_(n-p)=1
Donc x_p^2=1
Donc x_p=1 car x_p>=0.
Ainsi Sk=p+1/2=(n+1)/2.

Donc dans tous les cas,Sk=(n+1)/2.

Kendor

Ciao!

A+

Kendor.

Salut,
Solution postée
voici la solution de codex
Merci
a+

Salut :
Solution postée
voici la solution de coucou

bonjour,
solution postée
voici la solution de toetoe
Bonjour,
Voila ma solution :

On pose : y = x(i)^k, z=x(n-i)^k ,A(i) = (1/(1+y))+(1/(1+z)) avec yz = 1
On pose aussi : u = x(n/2)

On a : A(i) = (1/(1+y)) + (1/(yz + z)
= (1/(1+y)) ((1+z)/z)
= (1+z)/(z(1+y))
=(yz+z)/(z(1+y)
A(i) =1

- n est impaire => S = A(0) +A(1) + …….+ A((n-1)/2 )
 S =((n+1)/ 2 ) * 1
 S =(n+1)/2 .

- n est paire => S = A(0) + A(1) + …. +A((n-2)/2) + (1/(1+u))
On a u^2 = 1 => u = 1

Donc , est paire => S = [((n-2)/2)+1] + (1/2)
= (n+1)/2


Ainsi ,on a S = (n+1)/2
ToeToe ,

Solution postée
voici la solution de bestfriend


Merci
__BestFriend__[/