inégalité (pour les débutants !)

a,b,c > 0 , prouver que :
a²/(b²+c²+bc) + b²/(a²+c²+ac) + c²/(a²+b²+ab) >= 1

adam a écrit:

a,b,c > 0 , prouver que :
a²/(b²+c²+bc) + b²/(a²+c²+ac) + c²/(a²+b²+ab) >= 1

posant S=a²/(b²+c²+bc) + b²/(a²+c²+ac) + c²/(a²+b²+ab)
on pose a²>b²>c² ==> a²+b²+bc >= a²+c²+ac >= b²+c²+bc

==> 1/(b²+c²+bc) =< 1/(a²+c²+ac) =< 1/(a²+b²+ab)

et selon Chebychev

A=(a²+b²+c²) (1/(b²+c²+bc) + 1/(a²+c²+ac) +1/(a²+b²+ab)) =< S

et on a :
A >= (a²+b²+c²) ( 1/(b+c)² + 1/(a+c)² + 1/(a+b)² )
et selon Cauchy-shwartz :

A >= [a/(b+c) + b(a+c) + c/(a+b)]²

et selon Nesbitt

A >= (3/2)² <=> A >= 9/4

Donc : S >= A >= 9/4

S >= 9/4 > 1

boukharfane radouane a écrit:

conan j'ai dù répondre mais j'ai vu que cet exercice est déstiné aus débutants et non pas aux Expert sup

hhhhh, mais c seulement une ruse