Un ouvert pour une norme sur C^1([0, 1],IR).

Soit E = C^1([0, 1],IR). Pour f € E, on pose :

||f|| = sup(||f||_1, ||f '||_1), où || ||_1 est la norme sup ( ou infini)

1) || || est-elle une norme sur E ?

2) Soit F le sous-ensemble des f € E s’annulant une unique fois sur [0, 1], en un point où la dérivée est non nulle.
Montrer que F est un ouvert de (E,|| ||).

1) oui

2) soit f tq f(a) = 0, f'(a) != 0 et f(x) != 0 pour x != a

M1 = max(f(x), f(x) > 0)
M2 = max(-f(x), f(x) < 0)
M = min (M1,M2)

soit g tq ||f-g|| < min (|f'(a)/3|, M/3) (qui est non nul)

On a donc g'(a) != 0 aussi, et même |g'(x)| > |f'(a)/3| sur un voisinage V de a.
f s'annule et change de signe dabns V (vu que f'(a) != 0) donc g aussi, en b.

Reste à montrer que g ne s'annule qu'une seule fois : g'(b) != 0 donc s'annule une seule fois au voisinbge de b et le reste du temps il est trop proche de f pour s'annuler encore.