équation fonctionnelle

trouver toutes les fonctions strictement croissante f:N\{0}-->N\{0}, telles que :
f(n+2f(n))=3f(n), pour tout n de N\{0}.

je crois que la fonction f(x)=x+k k£IN est une solution peut etre la seule.je vais voir si cela est vrai après!!!

f est bien injective puisqu elle est strictement croissante.
on pose f(1) = a #0
on a alors f(1+2f(1)) = 3f(1)
donc f(1+2a) =3a
or entre donc {f(1),f(2),...,f(1+2a)} inclus dans {a,a+1,...,3a}
or les deux ensemble ont le même cardinal donc ils sont égaux.
donc f(2) = a+1 ;
par récurrence on peut montre que : f(n) = n+(a-1) ;
d ou le résulat f(n) = n+k ;

bravo Monsieur bel_jad5.J'ai fait la mème chose en consédirant la fonction g(x)=f(x)-x puis j'ai montrer qu'elle est constante.

khadija-daria a écrit:

trouver toutes les fonctions strictement croissante f:N\{0}-->N\{0}, telles que :
f(n+2f(n))=3f(n), pour tout n de N\{0}.

Et maintenant : même chose mais sans la condition de croissance stricte ?

slt
svp Mr bel_jad5 est-ce-que vous pouvez m'expliquer comment vous avez deduit cette partie: {f(1),f(2),...,f(1+2a)} inclus dans {a,a+1,...,3a} ?

salut
j ai posé que f(1) = a.
après j ai montré que f(1+2a) = 3a, n é c pas ?

or pour tout k de [1,2a+1] on a : f(1)<=f(k)<=f(1+2a) ( puisque la fonction est strictement croissante )
d ou a<f(k)<=3a

voila.

c clair mnt
merci