groupe commutatif

Soit G un groupe tel que x--> x^n et x-->x^m soient des morphismes avec n, m>1 et pgcd(n,m)=1 . Prouver que G est commutatif

Soit G NON commutatif de cardinal n >1 alors x--> x^n est un morphisme. Pour tout entier k , x--> x^(kn+1) est l'identité donc aussi un morphisme.
Bref le résultat n'est pas vrai .

lolo

Oui bien vu. Si G n'est pas d'ordre fini ?

Si G n'est pas d'ordre fini alors soit H non commutatif de cardinal n,
si m = kn+1

GxH n'est pas commutatif x-->x^n et x--> x^(kn+1) sont toujours des morphismes.

Sur un autre site on demande " quelle hypotyhèse mettre sur m et n (m,n)=1 pour que G soit commutatif" Il semblerait que m(m-1)/2 et
n(n-1)/2 premiers entre eux convienne, voir "les mathematiques.net"

lolo

En lisant ça, j'ai pensé à ceci :
Soit G^n := { g^n : g € G}. Si G^m et G^n sont des sous-groupes abéliens, alors il en va de même pour G^(pgcd(m,n)).

Et alors? même si c'est vrai ce n'est pas ce qu'on demande!

Je pense qu'on peut trouver des groupes non-abéliens pour la plupart des m,n ...
(m ou n = 2 est clairement interdit)

oui

lolo a écrit:

il semblerait que m(m-1)/2 et
n(n-1)/2 premiers entre eux convienne

Je pense que ceci ne marche toujours pas...

Il y avait un grand débat sur ce sujet sur le site

www.les-mathematiques.net

Est-ce que tu aurais le lien précis s'il te plaît, Abdelbaki?

Utilise le moteur de recherche du site

Oui, j'ai essayé, mais je ne trouve toujours pas..

bien choir les mots clés . Par exemple : "groupe commutatif"
"pgcd(n,m)=1" etc ..