Prouver que (a²+b²)/(a²-b²) n'est pas un entier naturel

Salut tout le monde
je creuse pour trouver la solution de cet exo:
On vous dis a et b sont des entiers naturels tel que a>b.
en utilisant un raisonnement par absurde:
Prouver que (a²+b²)/(a²-b²) n'est pas un entier naturel.
Merci pour vos contributions.

sami a écrit:

Salut tout le monde
je creuse pour trouver la solution de cet exo:
On vous dis a et b sont des entiers naturels tel que a>b.
en utilisant un raisonnement par absurde:
Prouver que (a²+b²)/(a²-b²) n'est pas un entier naturel.
Merci pour vos contributions.

salut (b#0 )
on suppose qu il appart1 a N c a d qu il existe k dans N* tel quez;
a²+b²=k(a²-b²) 攣
et posons d=pgcd(a,b) ;et biensur a=da' et b=db' tel que a'^b'=1.
攣 ==>(1+k)b²=(k-1)a²
==>b'²(k+1)=(k-1)a'² ** {(k+1)^(k-1)£{1,2}}
攣si pgcd(k+1,k-1)=1
de ** on deduit , k+1 et k-1 devise des carrées
==> ils s'ecrivent sous forme des carrées !!
k+1=s² etr k-1=r² ==>r²-s²=2 ==>(r-s)(r+s)=2 *
on s-r et s+r de mm parité (ou bien tous les deux pair ou bien tous les deux impairs )
de * on remarque qu ils sont pair alors 4 devise (r-s)(s+r) c a d 4 devise 2!! absurde !
摑si pgcd(k+1,k-1)=2 alors k est impair k=2p+1
** deviuent (p+1)b'²=pa'²alors p et p+1 sont des carrées (p^(p+1)=1 !!)
ce qui est absurde !! (il nya po decarrée consecutufs sauf le cas p=0 ce qui est exclu !!)
il nexiste po un tel entier

Salut
merci pour la reponse,mais pourquoi on a imposé que a'^b'=1
Merci de m'expliquer
@+

c'est une application directe de la propriete sami

joli selfrespect

sami a écrit:

Salut
merci pour la reponse,mais pourquoi on a imposé que a'^b'=1
Merci de m'expliquer
@+

salut
si a^b=d ** ,alors il existe un couple (a',b') tel que a=da' et b=db'
alors ** devient a^b=da'^b'd=d ==> a'^b'=1
a+

Salut
et pour cette partie là
攣 ==>(1+k)b²=(k-1)a²
car je pige pas trop :s

sami a écrit:

Salut
et pour cette partie là
攣 ==>(1+k)b²=(k-1)a²
car je pige pas trop :s

dsolé je vais trop vite ,
a²+b²=k(a²-b²) 攣
==> a²+b²=k.a²-kb² ==>b²+kb²=ka²-a²
==>(1+k)b²=(k-1)a²

Bon dernieres indications:
dans
==>b'²(k+1)=(k-1)a'² ** {(k+1)^(k-1)£{1,2}}
pourquoi on a mis b'2 et a'2 a la place de a² et b² et pourquoi forcemment (k+1)^(k-1)£{1,2}
cet exo comporte beaucoup de notions :s
et merci

bon pour la premiere tu remplaces b par b'd et a par a'd dans cette inegalite ==>(1+k)b²=(k-1)a²
et l deuxieme tt nombres dont la difference est 2 verefie cette relation
ex:5^3=1 et 2^4=2 (avec ^=pgcd)

sami a écrit:

Bon dernieres indications:
dans
==> b'²(k+1)=(k-1)a'²** {(k+1)^(k-1)£{1,2}}
pourquoi on a mis b'2 et a'2 a la place de a² et b² et pourquoi forcemment (k+1)^(k-1)£{1,2}
cet exo comporte beaucoup de notions :s
et merci

lol:
*bon b=db' et a=da' n'est ce pas ?!
(1+k)b²=(k-1)a² ==>(1+k)b'²d²=(k-1)a'²d²
==>b'²(k+1)=(k-1)a'²
* posons pgcd(k+1,k-1)=L
l devise k+1 et l devise k-1 ==> l devise leur differnce (nn?)
==>L devise (k+1-k+1)=2
dons L devise 2 ==>L£{1,2}
.ٔ顖

Bien maintenant tout est clair,merci les gars pour votre aide ^^

voila une suggestion

On suppose b non nul. :
On raisonne par l'absurde.
On peut supposer a et b premiers entre eux, car la fraction se simplifie par le carré de leur PGCD.

a+b divise a²+b²=(a+b)²-2ab donc a+b divise 2ab (et de même, a-b divise 2ab).

Or PGCD(a+b;a)= PGCD(a;b)=1 et de même pour b, donc par le lemme de Gauss, a+b divise 2, donc est inférieur à 2, impossible.

joili radouane et saad
制 (certainement il vont plaire a sami 刔 )

Salut les amis,je passe cette année en premiere ^^ alors pourriez vous me dire que Gauss.
si non logiquement cet exo et au debut du manuel,dans le cours de la logique,alors si on y pense,il faut le reoudre avec une methode où on utilisera que des propréiétés déja vues en TC.

le théorème de Gauss est trés simple
si a divise bc et (a,b)=1 (a et b sont premiers entre eux) alors a divise c.

voila

(ab/c et a^c=1)=>b/c

sami a écrit:

Salut les amis,je passe cette année en premiere ^^ alors pourriez vous me dire que Gauss.
si non logiquement cet exo et au debut du manuel,dans le cours de la logique,alors si on y pense,il faut le reoudre avec une methode où on utilisera que des propréiétés déja vues en TC.

dans ce cas je crois que la methode de selfrespect fera l'affaire

sami a écrit:

Salut les amis,je passe cette année en premiere ^^ alors pourriez vous me dire que Gauss.
si non logiquement cet exo et au debut du manuel,dans le cours de la logique,alors si on y pense,il faut le reoudre avec une methode où on utilisera que des propréiétés déja vues en TC.

je suis sur le point de dire de que les outils de tc nont rien avec cet exo ( je crois ) ben est ce que cet exo figure aprés le cour de la logique ?! ou bien avant (reels ?)

selfrespect a écrit:

sami a écrit:

Salut tout le monde
je creuse pour trouver la solution de cet exo:
On vous dis a et b sont des entiers naturels tel que a>b.
en utilisant un raisonnement par absurde:
Prouver que (a²+b²)/(a²-b²) n'est pas un entier naturel.
Merci pour vos contributions.

salut (b#0 )
on suppose qu il appart1 a N c a d qu il existe k dans N* tel quez;
a²+b²=k(a²-b²) 攣
et posons d=pgcd(a,b) ;et biensur a=da' et b=db' tel que a'^b'=1.
攣 ==>(1+k)b²=(k-1)a²
==>b'²(k+1)=(k-1)a'² ** {(k+1)^(k-1)£{1,2}}
攣si pgcd(k+1,k-1)=1
de ** on deduit , k+1 et k-1 devise des carrées
==> ils s'ecrivent sous forme des carrées !!
k+1=s² etr k-1=r² ==>r²-s²=2 ==>(r-s)(r+s)=2 *
on s-r et s+r de mm parité (ou bien tous les deux pair ou bien tous les deux impairs )
de * on remarque qu ils sont pair alors 4 devise (r-s)(s+r) c a d 4 devise 2!! absurde !
摑si pgcd(k+1,k-1)=2 alors k est impair k=2p+1
** deviuent (p+1)b'²=pa'²alors p et p+1 sont des carrées (p^(p+1)=1 !!)
ce qui est absurde !! (il nya po decarrée consecutufs sauf le cas p=0 ce qui est exclu !!)
il nexiste po un tel entier

oui meme la methode de selfrespect n'est pas valable a cause de cette propriete

Salut les amis
non cet exo figure dans la 1ere leçon de l'année,la logique,j'ai donné ta reponse à un prof,il m'avais dis qu'on utilise des choses qu'on a pas encore vu,donc elle peut être comptée comme fausse.
attendez je vais vous donner une methode que j'ai trouvée sur un autre forum,mais elle est incompléte je crois.

Citation :

Une idée qui reste peut-être à développer :

Supposons (a²+b²)/(a²-b²) un entier naturel avec a > b

(a²+b²)/(a²-b²) = (a²+b²-2b²+2b²)/(a²-b²) = (a²-b²)/(a²-b²) + 2.(b²)/(a²-b²) = 1 + 2.b²/(a²-b²)

Pour b = 0 , (a > b=0 ) , on a : (a²+0²)/(a²-0²) = a²/a² = 1 qui est un naturel

Supposons dans la suite b différent de 0. Alors :

(a²+b²)/(a²-b²) = 1 + 2/[(a/b)²-1] = 1 + 2/[((a/b)+1)((a/b)-1)]

Puis voir les diviseurs de 2 et conclure ...

je n'ai pas le temps d'aller plus loin. Une idée en passant

mais on remarque que c'est incomplet,qu'en pensez vous?

sami a écrit:

Salut les amis
non cet exo figure dans la 1ere leçon de l'année,la logique,j'ai donné ta reponse à un prof,il m'avais dis qu'on utilise des choses qu'on a pas encore vu,donc elle peut être comptée comme fausse.
attendez je vais vous donner une methode que j'ai trouvée sur un autre forum,mais elle est incompléte je crois.

crois que tas trouvé le pb dans la proprité disant a^b=d ==>....
ben (a²+b²)/(a²-b²)=k
==>(k-1)a²=(k+1)b²
=+>(k-1)²a²=(k²-1)b²
==> k²-1={(k-1)²a²}/b²}
alors k²-1 est un carrée ==>k²-1=s²
==> (k-s)(k+s)=1
==>k-s=1 et k+s=1 (1 na qun seul diviseur c 1!!)
==>k=1 et s=0 (exclu )
alors a²+b²=a²-b² ==>b=0 !!

selfrespect a écrit:

sami a écrit:

Salut tout le monde
je creuse pour trouver la solution de cet exo:
On vous dis a et b sont des entiers naturels tel que a>b.
en utilisant un raisonnement par absurde:
Prouver que (a²+b²)/(a²-b²) n'est pas un entier naturel.
Merci pour vos contributions.

salut (b#0 )
on suppose qu il appart1 a N c a d qu il existe k dans N* tel quez;
a²+b²=k(a²-b²) 攣
et posons d=pgcd(a,b) ;et biensur a=da' et b=db' tel que a'^b'=1.
攣 ==>(1+k)b²=(k-1)a²
==>b'²(k+1)=(k-1)a'² ** {(k+1)^(k-1)£{1,2}}
攣si pgcd(k+1,k-1)=1
de ** on deduit , k+1 et k-1 devise des carrées
==> ils s'ecrivent sous forme des carrées !!
k+1=s² etr k-1=r² ==>r²-s²=2 ==>(r-s)(r+s)=2 *
on s-r et s+r de mm parité (ou bien tous les deux pair ou bien tous les deux impairs )
de * on remarque qu ils sont pair alors 4 devise (r-s)(s+r) c a d 4 devise 2!! absurde !
摑si pgcd(k+1,k-1)=2 alors k est impair k=2p+1
** deviuent (p+1)b'²=pa'²alors p et p+1 sont des carrées (p^(p+1)=1 !!)
ce qui est absurde !! (il nya po decarrée consecutufs sauf le cas p=0 ce qui est exclu !!)
il nexiste po un tel entier

t'es sur prends par exemple
2divise 36

est ce que tu peux me montrer ou est k+1 et k-1 dans les nombres que tas choisi , merçi saad