équation fonctionnelle

boukharfane radouane a écrit:

trouver toutes les fonctions définies de R+ vers R+ et vérifiant :
(x+y)f(f(x)y)=x^2f(f(x)+f(y)) pour tout x et de IR+.

Bonjour Boukharfane.

En échangeant x et y dans (x+y)f(f(x)y)=x^2f(f(x)+f(y)), on obtient (x+y)f(f(y)x)=y^2f(f(x)+f(y)) et donc :
x^2f(f(y)x)=y^2f(f(x)y)

En particulier, si f(x)/x=f(y)/y, on a yf(x)=xf(y) et donc, puisque x^2f(f(y)x)=y^2f(f(x)y), x=y. La fonction f(x)/x est donc injective.

En faisant maintenant x=y dans l'équation initiale, on a f(xf(x))=xf(x) et donc en particulier f(xf(x))/(xf(x))=f(yf(y))/(yf(y))=1.

Et comme f(x)/x est injective, ceci implique xf(x)=yf(y) pour tous x et y et donc f(x)=a/x.

En reportant cela dans l'équation initiale, il vient a=1.

La seule solution est donc f(x)=1/x.

Jolie équation !

bonjour Patrick,
d'après mes calcules,la fonction f(x)=1/x n'est pas une solution de l'équation.

boukharfane radouane a écrit:

bonjour Patrick,
d'après mes calcules,la fonction f(x)=1/x n'est pas une solution de l'équation.

Ouppppps !

J'ai résolu (x+y)f(f(x)y)=x^2(f(x)+f(y))

et non (x+y)f(f(x)y)=x^2f(f(x)+f(y)) !

Je vais changer de lunettes.
Désolé.

boukharfane radouane a écrit:

trouver toutes les fonctions définies de R+ vers R+ et vérifiant :
(x+y)f(f(x)y)=x^2f(f(x)+f(y)) pour tout x et de IR+.

re-Bonjour Boukharfane.

Je suppose que R+ ne contient pas 0, sinon f(x)=0 est solution.

En échangeant x et y dans (x+y)f(f(x)y)=x^2f(f(x)+f(y)), on obtient (x+y)f(f(y)x)=y^2f(f(x)+f(y)) et donc :
x^2f(f(y)x)=y^2f(f(x)y)

En particulier, si f(x)/x=f(y)/y, on a yf(x)=xf(y) et donc, puisque x^2f(f(y)x)=y^2f(f(x)y), x=y. La fonction f(x)/x est donc injective.

En faisant maintenant x=y dans l'équation initiale, on a 2xf(f(x)x)=x^2f(2f(x)), soit f(xf(x))/(xf(x))=f(2f(x))/(2f(x)).

Et comme f(x)/x est injective, ceci implique xf(x)=2f(x) pour tout x, ce qui est impossible.

Il n'y donc pas de solution à part f(x)=0 si R+ contient 0).

... à moins d'une nouvelle erreur de ma part ! ..

re-bonjour Patrick,cette fois c'est correcte.lorsque tu as pu démontrer que f est injective,tu peux voir que si on pose:
x=O=(1+rac(5))/2(nombre d'or =>O²=O+1) et y=1 dans l'équation proposée on obtient:
(O+1)f(f(O))=O^2f(f(O)+f(1))=>f(f(O))=f(f(O)+f(1))=>
f(O)=f(O)+f(1)=>f(1)=0.contradiction!!!!
bravo patrick.

x+y)f(f(x)y)=x² f(f(x)+f(y)).

Pour x=0, on a y f(yf(0) ) = 0 donc pour tout y non nul,
f(yf(0))=0, donc en supposant f(0) non nul, yf(0) parcourt R+* donc f est la fonction nulle sauf en 0.
On pose alors f(0)=a différent de 0.

Pour y=0 et x non nul, (x+y)f(f(x)y)= xf(0)=xa et
x² f(f(x)+f(y))= x²f(a)=0 différent de xa ce qui est absurde, d'où f(0)=0 forcément.

On a donc montré f(0)=0.

Pour y=0, on a alors xf(0)=0=x²f(f(x)+f(0))= x²f(f(x)) donc pour tout x, f(f(x))=0.

On prend maintenant x= f(X) et y quelconque:

(f(X)+y) f(f(X)y)= f(X)² f( f(f(X))+ f(y) ) = f(X)² f(f(y)) = 0 or f(X)+y est non nul pour y non nul, donc f(f(X)y)=0 pour tout y, donc clairement, f est la fonction nulle (car soit f(X)y parcourt tout R+, soit f(X) est nul et ce pour tout X, ce qui donne dans les 2 cas la fonction nulle).

je ne suis pas sur 100 pour 100