- callo a écrit:
- Trouver toutes les applications f de IR dans IR vérifiant
Pour tout (x,y) dans IR2, f(x2+f(y)) = y + f(x)2
Bonjour Callo
En faisant x=0 et y=a-f(0)^2, on a f(f(a-f(0)^2))=a et on en déduit que f est surjective
En supposant f(a)=f(b), on a f(x^2+f(a))=f(x^2+f(b)) et donc a+f(x)^2=b+f(x)^2, donc a=b et f est injective.
f est donc bijective.
En remplaçant x par -x dans l'équation, on a f(x)^2=f(-x)^2 et donc f(-x)=-f(x) pour tout x non nul (puisque f est injective)
En faisant x=0 et y non nul tel que f(y) soit non nul, on a f(f(y))=y+f(0)^2, mais aussi f(f(-y))=-y+f(0)^2 et donc f(0)=0 et f(-x)=-f(x) est valable pour tout x.
En faisant y=0, on a alors f(x^2)=f(x)^2
En faisant x=0, on a alors f(f(y))=y
Et fonc f(x^2+f(y))=f(x^2)+f(f(y))
Et, comme f est surjective : f(x^2+y)=f(x^2)+f(y)
Soit : f(x+y)=f(x)+f(y) pour tout x>=0, et pour tout y.
Si x<0, on a f(x+y)=-f(-x-y)=-f(-x)-f(-y)= f(x)+f(y)
Et donc on a f(x+y)=f(x)+f(y) pour tous x et y de R
Nous avons donc une classique équation de Cauchy dont les solutions continues sont f(x)=ax et dont les éventuelles solutions discontinues ne sont majorées ni minorées sur aucun intervalle ouvert non vide.
Or, on a f(x^2)=f(x)^2 >=0. Donc f est minorée par 0 sur tout ouvert de R+. Ce ne peut donc être une solution discontinue de l'équation de Cauchy.
Donc f(x)=ax et, en reportant dans l'équation initiale, a=1
La seule solution est donc f(x)=x.
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Patrick
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