equa N

Résoudre dans N :
x² - 5y² = 1

badihi
x²-5y²=1
(x-yv5)(x+yv5)=1
donc
x-yv5=1 et x+yv5=1 ou
x-yv5=-1 et x+yv5=-1
donc
2x=2 ou 2x=-2
x=1 ou x=-1
x=1 <==> y=0
x=-1 <==> y=0
x et y min IN
donc
x=1 et y=0

x=9 et y=4?

salam

x² - 1 = 5y²

(x-1)(x+1) = 5y²

5 est premier ====> 5 divise (x-1) ou (x+1)

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Si 5 divise (x-1) ====> x-1=5k ====> x= 5k+1

====> k(5k+2) = y² , k divise y² et k < 5k+2 =====> k divise y

====> y = k.z ====>k(5k+2) = k².z²===> k=0 ou k divise 2
pour k=0 ====> x=1 =====> y=0
pour k=1 ====> x=6 =====> y²=7 impossible
pour k=2 ====> x=11 =====> y²=24 impossible

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Si 5 divise (x+1) ====> x=5k-1

====> k(5k-2)=y² , 5k-2 > 0 ====> k divise y² et k < 5k-2

===> k divise y ====> y = k.z ===> k(5k-2)= k².z²
====> k=0 ou k divise 2

pour k=0 =====> x=-1 non valable
pour k=1 ====> x=4 =====> y²=3 impossible
pour k=2 ====> x=9 =====> y²=16 ====> y = 4

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conclusion: les seules solutions dans IN² sont (x,y)=(9,4) ou (1,0)
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anasss a écrit:

Résoudre dans N :
x² - 5y² = 1

BSR à Toutes et Tous !!
BSR anasss !!
C'est une équation de PELL-FERMAT que l'on sait résoudre dans Z même !!
Il n'y a pas longtemps , il a été posté un pb du même genre dans le Salon des Prépas , tu peux aller voir ICI :

https://mathsmaroc.jeun.fr/analyses-f4/equation-de-pell-p101305.htm

Mais la technique utilisée n'est pas de votre niveau bien sûr !!!
C'était juste une indication pour Vous !!

PS : Bravo Mr houssa pour ta Solution du niveau requis !!!

salut à tous et à toutes !!!

oui c'est vraie que l'equation de Pell-Fermat connue d'une maniére génerale sous l'equation diophantienne quadratique de la forme:
x² - ny² = m (n;m)£IN² est aussi le dérnier travail de Fermat qui joue un role riche au niveau des arithmitique....

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lahoucine

salut
j'ai une question houssa avait écrit
k(5k+2)=y² et k<5k+2 ======> k|y
c'est pas toujours vrai car 9*4=36=6^2 et 4<9 mais 4 ne divise pas 6 ???

salam bolt=1/2.c.u²

oui tu as raison j'ai pas fait attention

je reprendrai le raisonnement......

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BSR à Toutes et Tous !!

Je reviens de nouveau sur cette équation !!
Elle admet une INFINITE de solutions qui sont
{(an,bn) ; n dans N }
ou an et bn sont définies par :
{9+4.rac(5)}^n=an +bn.rac(5) pour tout entier naturel n .
On montre facilement que {9-4.rac(5)}^n= an -bn.rac(5)
grâce au Binôme de NEWTON .
On en déduit que :
an=(1/2).{{9+4.rac(5)}^n + {9-4.rac(5)}^n}
puis
bn=(1/2.rac(5)).{{9+4.rac(5)}^n - {9-4.rac(5)}^n}

PS : L a trouvé (9,4) c'est le cas n=1
Mr houssa en a trouvé deux (1,0) et (9,4) correspondant respectivement à n=0 et n=1 .
Il y en a encore d'autres ; pour n=3 on trouve (161,72) etc ....