equation fct ■↓

Salut ,
etant donné un reel a , determiner tous les applications definies de R\{2} dasn R verifiants :

selfrespect a écrit:

Salut ,
etant donné un reel a , determiner tous les applications definies de R\{2} dasn R verifiants :

Bonjour Selfrespect,

Soit g(x)=(2x-1)/(x-2). On a g(g(x))=x. Donc :

f(g(x))-af(x)=e^x
f(g(g(x)))-af(g(x))=e^g(x) et donc f(x)-af(g(x))=e^g(x)

En multipliant la première par a et en ajoutant les deux équations, il vient :

(1-a^2)f(x)=a*e^x+e^g(x)

D'où les solutions (dont on vérifie bien qu'elles répondent à l'équation) :

Si a=+1 ou a=-1 : pas de solution
Sinon, f(x)=(a*e^x+e^((2x-1)/(x-2)))/(1-a^2)

Joli problème assez classique : lorsqu'une équation comporte f(g(x)) et f(x), toujours vérifier si par hasard on n'a pas gog=x, ou gogog=x, ... .

Merci Selfrespect
--
Patrick

Bonjour ,

pco a écrit:

selfrespect a écrit:

Salut ,
etant donné un reel a , determiner tous les applications definies de R{2} dasn R verifiants :

Bonjour Selfrespect,

Soit g(x)=(2x-1)/(x-2). On a g(g(x))=x. Donc :

f(g(x))-af(x)=e^x
f(g(g(x)))-af(g(x))=e^g(x) et donc f(x)-af(g(x))=e^g(x)

En multipliant la première par a et en ajoutant les deux équations, il vient :

(1-a^2)f(x)=a*e^x+e^g(x)

D'où les solutions (dont on vérifie bien qu'elles répondent à l'équation) :

Si a=+1 ou a=-1 : pas de solution
Sinon, f(x)=(a*e^x+e^((2x-1)/(x-2)))/(1-a^2)

Joli problème assez classique : lorsqu'une équation comporte f(g(x)) et f(x), toujours vérifier si par hasard on n'a pas gog=x, ou gogog=x, ... .

Merci Selfrespect
--
Patrick

Bravo Mr pco c'est une methode trés original , (et surtout le fait de remarquer que, g0g(x)=x )