Equation fontionnelle 2

Trouver toutes les fonctions continues de IR vers IR telles que pour tout x & y on a:
f(V(x^2+xy+y^2))=f(x)f(y).
V designe la racine carrée.

kaderov a écrit:

Trouver toutes les fonctions continues de IR vers IR telles que pour tout x & y on a:
f(V(x^2+xy+y^2))=f(x)f(y).
V designe la racine carrée.

Soit x>=0. En faisant y=0, on a f(x)=f(x)f(0).
Si f(0) est différent de 1, f(x)=0 pour tout x>=0 et donc, puisque racine(x^2+xy+y^2)>=0, f(x)f(y)=0 pour tous x et y , et donc f(x)=0 pour tout x.

Si f(0)=1, en faisant y=0, on a f(|x|)=f(x) et f est paire.
En faisant alors y=-x, on a f(|x|)=f(x)f(-x) et, puisque f est paire, f(x)=f(x)^2.
Donc f(x)=0 ou f(x)=1 et, comme f(0)=1 et que f est continue, f(x)=1 pour tous x.

Les deux seules solutions continues sont donc f(x)=0 et f(x)=1.

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Patrick

Meilleure:

Trouver toutes les fonctions continues de IR vers IR telles que pour tout x & y on a:
f(V(x^2+y^2))=f(x)f(y).
V designe la racine carrée.

kaderov a écrit:

Meilleure:

Trouver toutes les fonctions continues de IR vers IR telles que pour tout x & y on a:
f(V(x^2+y^2))=f(x)f(y).
V designe la racine carrée.

x=y=0 implique f(0)=0 ou 1
Si f(0)=0, y=0 implique f(|x|)=0, donc f(x)=0 pour x>=0, donc f(V(x^2+y^2))=0, fonc f(x)f(y)=0, donc f(x)=0 pour tout x

Si f(0)=1, y=0 implique f(|x|)=f(x) et f est paire. On peut donc poser g(x)=f(racine(|x|)) et f(x)=g(x^2).
On a alors g(x^2+y^2)=g(x^2)g(y^2) et donc g(x+y)=g(x)g(y) pour tous x et y positifs ou nuls.
De là, il est aisé de montrer que g(x)>=0 pour x>=0 (faire x=y) puis que g(xp/q)=(g(x))^(p/q) et, puisque g est continue sur R+ : g(x)=a^x pour un a>0 .

On a alors f(x)=a^(x^2) et on vérifie que cette solution fonctionne effectivement.

Donc, les solutions sont :
f(x)=0
f(x)=a^(x^2) pour a>0.

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Patrick