polynome et factorial !

existe t il un polynome non constant tel que pour tout n de N , il existe k dans N tel que P(n)=k!
?

salut!

p(x)=x(x-1)(x-2).......1

p(n)= n!

chaque polynome a un degré, quel est le degrè de ton polynome ?! ne me dit pas n

et si je dis n, c'est faux?

oui c faux, tu doi definir bien ton prolynome(le debut et la fin)
pour mieux comprendre, supposons que ce que tu di est vrai
le polynome qui verifie P(2)=2! est p(x)=x(x-1)
le polynome qui verfie P(2)=4! est p(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)
on voit bien que c ps le meme polynome car x(x-1)#x(x-1)(x-2)(x-3)
j esper que t as compris

Oui merci j'ai bien compris

bel_jad5 a écrit:

existe t il un polynome non constant tel que pour tout n de N , il existe k dans N tel que P(n)=k!
?

Non, il n'en existe pas.
(raison asymptotique)
Quand P(n)=k! alors P(n+1) >= (k+1)! pour tout n grand.

Bonsoir,

mathman a écrit:

Quand P(n)=k! alors P(n+1) >= (k+1)! pour tout n grand.

1) je ne comprends pas pourquoi P(n)=k! ==> P(n+1) >= (k+1)! pour tout n grand. Je peux très bien construire un polynôme tendant vers -oo quand x tend vers +oo, et tel que :
P(n) = k!
P(n+1) = 2!
P(n+2) = 17!
P(n+3) = 1!
P(n+p) < 0 pour tout p > 3
Ce polynôme ne répond bien sûr pas à la demande mais il contredit ton assertion.

2) quand bien même ton assertion serait vraie, je ne vois pas en quoi elle prouve le résultat.

Je suis demandeur - humblement - de précisions.

--
Patrick

Pour n grand!
Il y a un point à partir duquel il doit être monotone.

pco a écrit:

P(n+p) < 0 pour tout p > 3

Il doit être positif.

pco a écrit:

Ce polynôme ne répond bien sûr pas à la demande mais il contredit ton assertion.

Il ne la contredit pas. Ton polynôme n'a pas la propriété désirée. Depuis quand peut-il être négatif?
Ah, je comprends la confusion. Mon assertion est vraie pour les polynômes de ce type uniquement. C'est effectivement faux en général.

pco a écrit:

2) quand bien même ton assertion serait vraie, je ne vois pas en quoi elle prouve le résultat.

Dois-je écrire ma preuve complète?

Bon, allons-y.

1. le polynôme n'est pas négatif pour n>0 (entier)
==> son coefficient dominant est >0
==> il existe un certain X tel que P(x) est croissant dans [X, ..., oo[
Maintenant supposons P(n)=k! pour tout n>X
Alors on a P(n+1) > P(n) = k!
Mais P(n+1)=m! pour un certain m (tous les entiers au fait)
Donc m>k.
Donc m >= k+1.
L'assertion ci-dessus en découle.
2. Comment ça prouve le théorème:
n! >= 2^n (bon, oublions les 3 exceptions ^^)
Par un usage récursif de l'assertion ci-dessus on obtient que P(n+s) >= (k+s)! >= 2^(k+s) ; n, k constants, s variant
Donc on a un polynôme qui croît plus vite que 2^s, donné par Q(x) = P(x+n)/2^k.
La question qui reste est de savoir s'il y a une jolie preuve qu'il n'existe pas...

Une idée :
soit deg(Q)=a, alors x^(a+1) > Q(x) encore pour x grand, donc on doit seulement contredire n^(a+1) > 2^n pour n grand.
En prenant le logarithme, c'est aussi "bien connu".

Bonsoir,

Ben, la preuve complète de mathman me paraît beaucoup plus claire que les quelques lignes de son message précédent .

Elle me convient très bien et est très élégante.

Je suis peut-être le seul de ce forum a ne pas avoir compris la démonstration complète à partir de tes quelques lignes et je présente à tous mes excuses pour ma faible compréhension ... .

Et bravo pour ta preuve.

--
Patrick

Bonsoir,

oui, j'imagine.

Merci.

Non non non! Et désolé si c'est ce que laissais transparaître mon message. Si tu as eu besoin de cette clarification, je peux tout à fait le comprendre. Bien sûr, vu que j'avais ma preuve en tête, mon premier message me paraissait suffisant, mais je comprends tout à fait qu'il ait pu paraître obscur.

Merci encore.