lim arctan +suites

demonterez que :

puis étudiez la monotonie de la suite (Un) et determinez sa limite (+00)

on considere comme d'hab la fonction
f_n(x)=x^n + arctanx - 1
f'(x)=n*x^(n-1) + 1/(1+x²) (f' positive)
puisque f est continue et strictement monotone :
f est une bijection de I=]0,+00[ vers f(I)
f(I)=]-1,+00[=J
0 £ J donc d'apres la bijection de f il existe u_n de I=]0,+00[
tel que (u_n)^n +arctan(u_n) = 1

on a f_n+1(x) est supérieur à f_n(x)

donc f_n+1(u_n+1) est superieur à f_n(u_n+1)

0 est supérieur à f_n(u_n+1)

f_n(u_n) supérieur à f_n(u_n+1)

donc (u_n) est decroissante.

Po facile

sweet_girl a écrit:

Po facile

quelle question ?

En fait ce genre dexercice C un classique une fois la methode acquise ca devient un reflexe

PS: Les maths ce sont ts des reflexes qui ressortent soit au bon moment soit en retard, cela depend de la preparation!

oui, bonne analyse

callo a écrit:

on considere comme d'hab la fonction
f_n(x)=x^n + arctanx - 1
f'(x)=n*x^(n-1) + 1/(1+x²) (f' positive)
puisque f est continue et strictement monotone :
f est une bijection de I=]0,+00[ vers f(I)
f(I)=]-1,+00[=J
0 £ J donc d'apres la bijection de f il existe u_n de I=]0,+00[
tel que (u_n)^n +arctan(u_n) = 1

on a f_n+1(x) est supérieur à f_n(x)

donc f_n+1(u_n+1) est superieur à f_n(u_n+1)

0 est supérieur à f_n(u_n+1)

f_n(u_n) supérieur à f_n(u_n+1)

donc (u_n) est decroissante.

on peut facilement montrer que u_1 est inférieur à 1 (strictement) pour deduire que lim u_n = 0

salut
peut tu mieux expliquer la partie rouge

bon,
on a f_n+1(u_n+1) est superieur à f_n(u_n+1)
f_n+1(u_n+1) =0

donc f_n(u_n+1) est négatif
et on sait que 0=f_n(u_n)

alors f_n(u_n) est supérieur à f_n(u_n+1)

et puisque f est une bijection et strictement croissante :
u_n est supérieur à u_n+1
(u_n) est decroissante.

oui bien vu. merci
et pour cette partie?

callo a écrit:

pour deduire que lim u_n = 0

f_n+1(x) est supérieur à f_n(x)


cher ami c le contraire qui est juste n oublie pas que la suite est entre 1 et 0

je sais
la limite n'est pas0

callo a écrit:

on considere comme d'hab la fonction
f_n(x)=x^n + arctanx - 1
f'(x)=n*x^(n-1) + 1/(1+x²) (f' positive)
puisque f est continue et strictement monotone :
f est une bijection de I=]0,+00[ vers f(I)
f(I)=]-1,+00[=J
0 £ J donc d'apres la bijection de f il existe u_n de I=]0,+00[
tel que (u_n)^n +arctan(u_n) = 1

on a f_n+1(x) est supérieur à f_n(x)

donc f_n+1(u_n+1) est superieur à f_n(u_n+1)

0 est supérieur à f_n(u_n+1)

f_n(u_n) supérieur à f_n(u_n+1)




donc (u_n) est decroissante.

c faut x est entre 0 et 1

callo a écrit:

on considere comme d'hab la fonction
f_n(x)=x^n + arctanx - 1
f'(x)=n*x^(n-1) + 1/(1+x²) (f' positive)
puisque f est continue et strictement monotone :
f est une bijection de I=]0,+00[ vers f(I)
f(I)=]-1,+00[=J
0 £ J donc d'apres la bijection de f il existe u_n de I=]0,+00[
tel que (u_n)^n +arctan(u_n) = 1

on a f_n+1(x) est supérieur à f_n(x)

donc f_n+1(u_n+1) est superieur à f_n(u_n+1)

0 est supérieur à f_n(u_n+1)

f_n(u_n) supérieur à f_n(u_n+1)




donc (u_n) est decroissante.

c faut x est entre 0 et 1