inegalité

x;y;z troius reels positif et xyz=1 montrer que


x^3/(1 + y)(1 + z) +y^3/(1 + z)(1 + x) +z^3/(1 + x)(1 + y) ≥3/4

c'est facile et deja posté

slt tt le monde
on commence par homogeniser
l'inegalite devient :
sigma cyclic x^3/((xyz)^1/3 + y)((xyz)^1/3 + z)>3/4(xyz)^1/3
apres developpement on obtient:(avec come substitution a^3=x b^3=y c^3=z)
4(sigma sym a^10.bc+sigma sym a^12)>3(sigma sym a^3b^3c^6)+3(sigma sym a^2b^5c^5)+sigma syma^4b^4c^4
ce qui est trivial par muirheud en considerant les sequences (12.0.0) et (10.1.1) qui majorizent (4.4.4) et (5.5.2) et (6.3.3)
a+

autre reponse plus simple

x3/(1+y)(1+z) +1/8(1+y) +1/8(1+z) >=3/4x

y3/(1+x)(1+z) +1/8(1+x) +1/8(1+z)>=3/4y

z3/(1+x)(1+y) +1/8(1+x)+1/8(1+y)>=3/4z

on fait la somme donc
//////////////////+3/4+1/4(x+y+z)>=3/4(x+y+z) donc

x3/(1+y)(1+z)+y3/(1+x)(1+z)+z3(1+y)(1+x)>=1/2(x+y+z)-3/4

on a 1/2(x+y+z)>=2/3
donc on conclu le resultat

bonne idee abdelatif!!
c'est moins brutale que ma methode ! lol!